Hamiltonsche Gruppe

In der Gruppentheorie nennt man eine Gruppe dedekindsche Gruppe (nach Richard Dedekind), wenn jede Untergruppe ein Normalteiler ist. Offenbar ist jede abelsche Gruppe eine dedekindsche Gruppe. Die nicht-abelschen unter ihnen werden hamiltonsche Gruppen genannt (nach William Rowan Hamilton).

Die hamiltonschen Gruppen können nach einem auf Dedekind zurückgehenden Satz vollständig angegeben werden:^[1]

• Jede endliche hamiltonsche Gruppe ${\displaystyle G}$ ist von der Form ${\displaystyle G\cong Q_{8}\times A\times (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{n}}$, wobei
  • ${\displaystyle Q_{8}}$ die Quaternionengruppe ist,
  • ${\displaystyle A}$ eine abelsche Gruppe ungerader Ordnung ist
  • und ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ ist.

Ist ${\displaystyle n=0}$, so fehlt der dritte Faktor. Die Gruppe ${\displaystyle A}$ kann einelementig sein, dann fehlt der zweite Faktor. Die Quaternionengruppe ist daher die kleinste hamiltonsche Gruppe und jede hamiltonsche Gruppe enthält einen zur Quaternionengruppe isomorphen direkten Faktor.

Demnach sind ${\displaystyle Q_{8}\times Q_{8}}$ und ${\displaystyle Q_{8}\times \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$ keine hamiltonschen Gruppen. In der Tat sind ${\displaystyle \{(q,q);q\in Q_{8}\}}$ bzw. ${\displaystyle \{(1,{\overline {0}}),(i,{\overline {1}}),(-1,{\overline {2}}),(-i,{\overline {3}})\}\,}$ nicht-normale Untergruppen, wobei wie üblich ${\displaystyle Q_{8}\,=\,\{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\}}$ und ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} =\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}}\}}$ sei.

• Richard Dedekind: Ueber Gruppen, deren sämmtliche Theiler Normaltheiler sind. In: Mathematische Annalen. Bd. 84, Nr. 4, 1897, S. 548–561, Digitalisat.

1. ↑ Bertram Huppert: Endliche Gruppen (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Bd. 134). Band 1. Springer, Berlin u. a. 1967, Satz III,7.12.