Die hypergeometrische Funktion mit Matrix-Argument ist eine Verallgemeinerung der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion auf ein Matrix-Argument. Sie taucht häufig in der multivariaten Statistik und in der Theorie der Zufallsmatrizen bei der Berechnung multivariater Integrale auf.
Eine Schwierigkeit beim Berechnen der Funktion besteht darin, dass man Jack-Polynome mit Parameter
berechnen muss. Häufig interessiert man sich für den Fall
, welches die zonalen Polynome sind. Dies sind orthogonale Polynome und multivariate Verallgemeinerungen der Monome. Außerdem sind sie Eigenfunktionen eines Differentialoperators und Jack-Polynome mit einer C-Normalisierung. Es gibt unterschiedliche Definitionen und Berechnungsmöglichkeiten.
Auch wenn es sich bei der hypergeometrischen Funktion mit Matrix-Argument eigentlich um eine verallgemeinerte hypergeometrische Funktion handelt, so verzichtet man in der Literatur in der Regel auf den Zusatz verallgemeinert.
Definition
Sei
eine Partition einer Zahl
, das heißt, es gilt
und
wobei
.
die Länge der Partition
, das heißt die Anzahl Folgenglieder, welche verschieden von Null sind (das bedeutet
),
das verallgemeinertes Pochhammer-Symbol.
nicht-negative ganze Zahlen.
Seien
und
komplexe Zahlen und
eine komplexe symmetrische Matrix mit Dimension
. Die hypergeometrische Funktion mit Matrix-Argument ist definiert als
![{\displaystyle {}_{m}F_{n}^{(\alpha )}(a_{1},\ldots ,a_{m};b_{1},\ldots ,b_{n};S)=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{\kappa \vdash k}{\frac {(a_{1})_{\kappa }^{\alpha }\cdots (a_{m})_{\kappa }^{\alpha }}{(b_{1})_{\kappa }^{\alpha }\cdots (b_{n})_{\kappa }^{\alpha }}}{\frac {C_{\kappa }^{(\alpha )}(S)}{k!}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c24d00a9ea717c30e97dd1dbc2d7c469e7372fe)
wobei
die Summation über alle Partitionen von
ist und
das Jack-Polynom zum Parameter
von
für
ist.[1][2]
Erläuterungen
ist Skalar-wertig. - In der Statistik und in der Stochastik interessiert man sich vor allem für den Fall
, dann sind
zonale Polynome respektive C-normalisierte Jack-Polynome.
Zweifaches Matrix-Argument
Analog definiert man die hypergeometrische Funktion für zwei symmetrische Matrizen
und
mit Dimension
![{\displaystyle {}_{m}F_{n}^{(\alpha )}(a_{1},\ldots ,a_{m};b_{1},\ldots ,b_{n};S,T)=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{\kappa \vdash k}{\frac {(a_{1})_{\kappa }^{\alpha }\cdots (a_{m})_{\kappa }^{\alpha }}{(b_{1})_{\kappa }^{\alpha }\cdots (b_{n})_{\kappa }^{\alpha }}}{\frac {1}{k!}}{\frac {C_{\kappa }^{(\alpha )}(S)C_{\kappa }^{(\alpha )}(T)}{C_{\kappa }^{(\alpha )}(I)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fda9aeb1ca56a4a862f1dfad078c124487737eae)
wobei
die Identitätsmatrix der Dimension
ist.
Zonale Polynome
Sei
eine
symmetrische Matrix mit Eigenwerten
und
eine Partition von
, welche nicht aus mehr als
Teilen besteht. Die zonalen Polynome
sind die Eigenfunktionen des Differentialoperators
![{\displaystyle \Delta _{X}=\sum \limits _{i=1}^{r}y_{i}^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y_{i}^{2}}}+\sum \limits _{i=1}^{r}\sum \limits _{\begin{array}{c}j=1\\i\neq j\end{array}}^{r}{\frac {y_{i}^{2}}{y_{i}-y_{j}}}{\frac {\partial }{\partial y_{i}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48a27568fd762e544610c91a917d93bff6ae8038)
das heißt sie erfüllen die partielle Differentialgleichung
![{\displaystyle \Delta _{X}C_{\kappa }^{(2)}(X)=\alpha C_{\kappa }^{(2)}(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b11675f38fb533df87218acc065f0ca7bc765672)
mit
[3]
Literatur
- Arjun K. Gupta, D. K. Nagar: Matrix variate distributions. Chapman & Hall /CRC, 2000, ISBN 1-58488-046-5 (englisch).
- Robb J. Muirhead: Aspects of Multivariate Statistical Theory. Hrsg.: Wiley, Deutschland. 2009, S. 258.
Einzelnachweise
- ↑ Robb J. Muirhead: Aspects of Multivariate Statistical Theory. Hrsg.: Wiley, Deutschland. 2009, S. 258.
- ↑ Ioana Dumitriu, Alan Edelman und Gene Shuman: MOPS: Multivariate orthogonal polynomials (symbolically). In: Journal of Symbolic Computation. Band 42, Nr. 6, 2007, S. 603, doi:10.1016/j.jsc.2007.01.005.
- ↑ Robb J. Muirhead: Aspects of Multivariate Statistical Theory. Hrsg.: Wiley, Deutschland. 2009, S. 228.