Kempner-Reihe

In der Mathematik bezeichnen die zehn Kempner-Reihen, benannt nach Aubrey J. Kempner, diejenigen Reihen, die dadurch entstehen, dass man aus der harmonischen Reihe ${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}$ alle Summanden entfernt, die eine bestimmte dezimale Ziffer in ihrem Nenner enthalten. Die Kempner-Reihen gehören daher zu den subharmonischen Reihen.

Lässt man etwa alle Summanden weg, deren Nenner die Ziffer ${\displaystyle 0}$ in seiner Dezimalschreibweise enthält, ergibt sich die Kempner-Reihe ${\displaystyle K_{0}}$ als

${\displaystyle K_{0}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+\cdots +{\frac {1}{19}}+{\frac {1}{21}}+\cdots +{\text{ usw. }}+\cdots +{\frac {1}{99}}+{\frac {1}{111}}+\ldots }$

Oder durch Auslassen der Summanden mit einer ${\displaystyle 1}$ im Nenner:

${\displaystyle K_{1}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{20}}+{\frac {1}{22}}+\cdots +{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{32}}+\cdots +{\text{ usw. }}+\cdots +{\frac {1}{99}}+{\frac {1}{200}}+{\frac {1}{202}}+\cdots }$

Sie wurden erstmals von Aubrey J. Kempner 1914 beschrieben.^[1]

Das Interessante an diesen zehn Reihen ist, dass sie alle konvergieren, obwohl die harmonische Reihe selbst nicht konvergiert. Dies wurde von Kempner bewiesen; daher werden die Reihen oft Kempner-Reihen genannt. Die Konvergenzeigenschaft wird auch dadurch deutlich, dass bereits ab 7-stelligen Zahlen diese mehrheitlich wegfallen und es bei großen Zahlen nur wenige gibt, die eine bestimmte Ziffer nicht enthalten und so einen Additionsbeitrag leisten können.^[2]

Für die Kempner-Reihe ${\displaystyle K_{0}}$ sind

• im einstelligen Nennerbereich 1 bis 9 genau ${\displaystyle \!\ 9}$ Nenner (alle) zulässig;
• im zweistelligen Nennerbereich 10 bis 99 genau ${\displaystyle 9\cdot 9=9^{2}}$ Nenner (neun Ziffern an der ersten Stelle mal neun Ziffern an der zweiten Stelle möglich) zulässig;
• im dreistelligen Nennerbereich 100 bis 999 genau ${\displaystyle 9\cdot 9\cdot 9=9^{3}}$ Nenner zulässig; usw.,

allgemein sind

• im ${\displaystyle n}$-stelligen Nennerbereich ${\displaystyle 10^{n-1}}$ bis ${\displaystyle 10^{n}-1}$ genau ${\displaystyle \!\ 9^{n}}$Nenner zulässig.

Die ${\displaystyle 9}$ zulässigen einstelligen Nennerwerte sind allesamt größergleich 1, daher sind die Brüche in der Reihe jeweils kleinergleich 1; die ${\displaystyle 9^{2}}$ zulässigen zweistelligen Nenner sind alle größergleich 10, daher sind die entsprechenden Brüche alle kleinergleich ${\displaystyle {\tfrac {1}{10}}}$; die ${\displaystyle 9^{3}}$ dreistelligen zulässigen Nenner sind jeweils größergleich 100, daher sind die entsprechenden Brüche allesamt kleinergleich ${\displaystyle {\tfrac {1}{100}}}$; usw.

Das ergibt die obere Schranke

${\displaystyle {\begin{matrix}K_{0}&=&({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{9}})&+&({\frac {1}{11}}+\cdots +{\frac {1}{99}})&+&({\frac {1}{111}}+\cdots +{\frac {1}{999}})&+&\cdots \\&<&({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+\cdots +{\frac {1}{1}})&+&({\frac {1}{10}}+\cdots +{\frac {1}{10}})&+&({\frac {1}{100}}+\cdots +{\frac {1}{100}})&+&\cdots \\&=&9\cdot {\frac {1}{1}}&+&9^{2}\cdot {\frac {1}{10}}&+&9^{3}\cdot {\frac {1}{100}}&+&\cdots \end{matrix}}}$

${\displaystyle =9\cdot \left(1+\left({\frac {9}{10}}\right)+\left({\frac {9}{10}}\right)^{2}+\left({\frac {9}{10}}\right)^{3}+\cdots \right)}$

${\displaystyle ={\frac {9}{1-{\frac {9}{10}}}}=90.}$

(Bei der Reihe in der vorletzten Zeile handelt es sich um eine konvergente geometrische Reihe)

Damit konvergiert ${\displaystyle K_{0}}$ und es gilt die (ziemlich großzügige) Schranke

${\displaystyle K_{0}<90.}$

Der Beweis der Konvergenz der anderen Reihen verläuft analog, es ist aber zu beachten, dass im einstelligen Nennerbereich nur 8 Werte, im zweistelligen Nennerbereich aber ${\displaystyle 8\cdot 9}$ Nennerwerte zulässig sind, da an der ersten Stelle sowohl die Null als auch die entsprechende Ziffer, an der zweiten Stelle aber nur die entsprechende Ziffer "verboten" sind usw.; insgesamt ergibt sich dadurch die Schranke ${\displaystyle 80}$.

Die Reihen konvergieren extrem langsam.

Aufgrund der ziemlich langsamen Konvergenz benötigt man schnelle und effiziente Berechnungsalgorithmen, vgl.^[4]

F. Irwin verallgemeinerte das Resultat der Konvergenz der zehn Kempner-Reihen, indem er bewies, dass alle Reihen, die über die Kehrwerte aller natürlicher Zahlen, in denen die Ziffer ${\displaystyle x_{0}}$ genau ${\displaystyle n_{0}}$ mal, die Ziffer ${\displaystyle x_{1}}$ genau ${\displaystyle n_{1}}$ usw. auftreten, ebenfalls konvergieren.^[5]

Die Summe der Kehrwerte der natürlichen Zahlen, in denen genau eine 9 vorkommt, beträgt etwa 23,044287080747848319. Dieser Wert ist größer als Kempners ${\displaystyle K_{9}}$, obwohl diese mit größeren Summanden beginnt. Ein extremeres Beispiel dafür ist die Summe der Kehrwerte der natürlichen Zahlen, in denen einhundert Nullen vorkommen, sie beginnt mit dem Summanden ${\displaystyle 1/10^{100}}$ und ist dennoch größer als etwa ${\displaystyle K_{9}}$.^[4]

Eine Möglichkeit, die harmonische Reihe weit weniger auszudünnen, ist, nur alle Summanden herauszunehmen, deren Nenner irgendwo eine bestimmte zusammenhängende Ziffernfolge – etwa 314 (die ersten drei Stellen der Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$) – enthält. Auch derartige Reihen konvergieren; im genannten Beispiel ergibt sich ein Grenzwert von etwa 2299,829782.^[6] Bei Herausnahme der ersten sechs Stellen 314159 ergibt sich ein Grenzwert von etwa 2302582,333863782607892.^[7] Allgemein gilt: Wenn alle Summanden mit einer zusammenhängenden Ziffernfolge der Länge ${\displaystyle n}$ herausgenommen werden, konvergiert die Reihe mit einem Grenzwert in der Größenordnung von etwa ${\displaystyle 10^{n}\cdot \ln 10}$.^[8]

Es gibt natürlich auch analoge Reihen in anderen Stellenwertsystemen. Die duale Kempner-Reihe etwa entsteht durch Streichen aller Summanden, die eine ${\displaystyle {\rm {O}}}$ in ihrer Dualdarstellung enthalten. Alle Dualzahlen zu streichen, in denen eine ${\displaystyle {\rm {I}}}$ vorkommt, geht nicht. Die einzige duale Kempner-Reihe ist also

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}K_{\text{dual}}&={\frac {\rm {I}}{\rm {I}}}+{\frac {\rm {I}}{\rm {II}}}+{\frac {\rm {I}}{\rm {III}}}+{\frac {\rm {I}}{\rm {IIII}}}+\cdots &{\text{(dual)}}\\&=1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{31}}+\cdots &{\text{ (dezimal)}}\\&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}-1}}\\&=1{,}60669515241529\ldots ,\end{alignedat}}}$

welche gegen die Erdős-Borwein-Konstante konvergiert. Zum Beweis der Konvergenz betrachte man die unendliche konvergente geometrische Reihe ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}={\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}}}=2}$ als obere Schranke.

• Julian Havil: Gamma: Eulers Konstante, Primzahlstrände und die Riemannsche Vermutung. Springer, Berlin 2007, S. 42ff. ISBN 978-3-540-48495-0
• Folge A082839 in OEIS und Folge A082830 in OEIS

1. ↑ Aubrey J. Kempner: A Curious Convergent Series. In: Amer. Math. Monthly, Band 21 Nr. 2, Mathematical Association of America, Washington 1914, S. 48–50, ISSN 0002-9890.
2. ↑ Anmerkung: Wahrscheinlichkeit des Auftretens einer Ziffer in einer n-stelligen dezimalen Zifferngruppe: P(n) = 1 - (9/10)^n. Für n=7: P > 50 %.
3. ↑ Eric W. Weisstein: Kempner Series. In: MathWorld (englisch).
4. ↑ ^{a b} Robert Baillie: Summing the Curious Series of Kempner and Irwin, 27. Juni 2008, arxiv
5. ↑ F. Irwin: A Curious Convergent Series. In: Amer. Math. Monthly. Band 23, 1916, Seiten 149–152.
6. ↑ R. Baillie, T. Schmelzer: Summing Kempner's Curious (Slowly-Convergent) Series. 20. Mai 2008; vgl. in Wolfram Library Archive
7. ↑ R. Baillie, T. Schmelzer: Summing Kempner's Curious (Slowly-Convergent) Series. 20. Mai 2008; vgl. in Wolfram Library Archive
8. ↑ Eric W. Weisstein: Kempner Series. In: MathWorld (englisch).