In der Mathematik ist die Mangoldt-Funktion (auch Von Mangoldt-Funktion), benannt nach dem deutschen Mathematiker Hans von Mangoldt, eine zahlentheoretische Funktion, die üblicherweise mit
bezeichnet wird.
Die Mangoldt-Funktion besitzt die Eigenschaft, dass zusammengesetzte Zahlen rausgefiltert werden und nur die Primzahlen und Primzahlpotenzen übrig bleiben. Der Wert der Mangoldt-Funktion ist dann der Logarithmus der Primzahl.
Definitionen und grundlegende Eigenschaften
Die Mangoldtsche Funktion ist definiert als
![{\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log(p)&{\text{falls }}n{\text{ sich als }}n=p^{k}{\text{ darstellen }}\mathrm {l{\ddot {a}}sst,} {\text{ wobei }}p{\text{ prim und }}k\in \mathbb {N} ^{+}\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6981ab99812e28632b9c27aa459e0a54cb57d83c)
Erläuterungen
Für zusammengesetzte Zahlen
also
![{\displaystyle \Lambda (n)=0\iff n=p_{1}^{r_{1}},\dots ,p_{n}^{r_{n}},\qquad n\geq 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d8be2fcec452f4628c84ae73f529572102dbb96)
wobei
ihre Primfaktorzerlegung bezeichnet.
Das heißt, die Mangoldt-Funktion filtert in einem ersten Schritt sozusagen die Primzahlen und Primzahlpotenzen raus, in dem die zusammengesetzten Zahlen mit
identifiziert werden. In einem zweiten Schritt werden die Primzahlpotenzen und die Primzahlen mit dem Logarithmus der zugrundeliegenden Primzahl identifiziert.
Die ersten Werte von
sind
![{\displaystyle 0,\log 2,\log 3,\log 2,\log 5,0,\log 7,\log 2,\log 3,0,\log 11,0,\log 13,0,0,\log 2,\log 17,0,\log 19,0,0,0\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2903227c01b773b1fa79c2e3caedefb55086423)
Die Mangoldt-Funktion ist weder eine additive Funktion noch multiplikative Funktion.
exp(Λ(n))
lässt sich explizit angeben als
![{\displaystyle e^{\Lambda (n)}={\frac {\operatorname {kgV} (1,2,3,\dotsc ,n)}{\operatorname {kgV} (1,2,3,\dotsc ,n-1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/874abac5f6277465bf6fac21e9ae2d1da018ed0a)
wobei
das kleinste gemeinsame Vielfache bezeichnet.
Die ersten Werte der Folge
sind
(Folge A014963 in OEIS)
Summierte Mangoldt-Funktion
Die summierte Mangoldt-Funktion,
![{\displaystyle \psi (n)=\sum _{i=1}^{n}\Lambda (i),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6868926e40687203ae0dcf9b8d74b9a3fe2145b)
wird auch als Tschebyschow-Funktion bezeichnet. Sie spielt beim Beweis des Primzahlsatzes eine Rolle.
Teilersummen
Bezeichne mit
die Möbius-Funktion. Alle in diesem Abschnitt folgenden Formeln gelten für
. Es gilt
![{\displaystyle \sum _{d\mid n}\Lambda (d)=\log n\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3091d8d801f6b1724fae57278ea7037e8bcddd1b)
Weiter gilt
![{\displaystyle \Lambda (n)=\sum _{d\mid n}\mu \left(d\right)\log \left({\frac {n}{d}}\right)\qquad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8841ac4d04af59dd6402ddf7ef4e5d8de652b35)
![{\displaystyle \Lambda (n)=-\sum _{d\mid n}\mu (d)\log d\quad \quad (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ef675d8a8a1821068970d7991196b409aa546b3)
![{\displaystyle \Lambda (n)=\sum _{d\mid n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)\cdot \log d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a77052bec9ba355f5b2a77e766be4f793714590f)
![{\displaystyle \sum _{d\mid n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)\Lambda (d)=-\mu (n)\log n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21808b4813481b594535579f53f0fb81280c97d6)
Durch Anwendung der Mobius-Inversionsformel kann
gezeigt werden,
folgt daraus.
Hierbei bedeutet
, dass
ein positiver Teiler von
ist, d. h. die Summen laufen über alle positiven Teiler von
.
Folgerungen
Sei
eine Primzahl, Beziehung
kann man zum Beispiel nützen, wenn man Primzahlzwillinge
untersucht
![{\displaystyle \sum \limits _{p\leq x}\Lambda (p+2)=-\sum \limits _{p\leq x}\sum _{d\mid p+2}\mu (d)\log d.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34e082c78947ac155ffbc1e6fbcaa1f36bf14d35)
Dirichlet-Reihen
Die Mangoldt-Funktion spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der Dirichletreihen.
Es gilt
![{\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}\qquad \quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;Re} (s)>1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0b12c0ab5489a48fc1fdee17584907323b952e9)
Die logarithmische Ableitung davon liefert einen Zusammenhang zwischen der Riemannschen
-Funktion und der Mangoldt-Funktion:
![{\displaystyle {\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}\qquad \quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;Re} (s)>1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a2b02a0b71e26b29d67b33d7d70cf99964c7506)
Allgemeiner gilt sogar: Ist
multiplikativ und ihre Dirichletreihe
![{\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b7905e56cb9d64de0bc02dcaea2e5ac1e767b14)
konvergiert für gewisse
, dann gilt
![{\displaystyle {\frac {F^{\prime }(s)}{F(s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\Lambda (n)}{n^{s}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8385af879726871044e4b67a85214052f7558e51)
Verallgemeinerte Mangoldt-Funktion
Die verallgemeinerte Mangoldt-Funktion ist definiert als
![{\displaystyle \Lambda _{k}(n)=\sum \limits _{d\mid n}\mu (d)\log ^{k}(n/d)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c996e992beefb512824188999325eda8b9dd188f)
wobei
die Möbius-Funktion bezeichnet und
.
Als Dirichlet-Faltung geschrieben
![{\displaystyle \Lambda _{k}(n)=(\mu \ast \log ^{k})(n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e058f6b1137ae1acb876215f1c2e9dd3953b7d0)
Im Fall
erhält man die gewöhnliche Mangoldt-Funktion
.[1]
Eigenschaften
- Für
gilt folgende Rekursion[2]
![{\displaystyle \Lambda _{k+1}(n)=\Lambda _{k}(n)\log(n)+(\Lambda _{k}\ast \Lambda )(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0587b299671d273d76540ae987daa3d79623b183)
- Es folgt aus der Rekursion, dass wenn
dann ist
.
Abschätzen der Mangoldt-Funktion
Das Abschätzen der Mangoldt-Funktion ist ein zentrales Problem der analytischen Zahlentheorie. Es gibt hierzu verschiedene Methoden wie Winogradows Methode, der Null-Dichte-Methoden (englisch zero density methods) und Vaughans Identität.
Referenzen
Einzelnachweise
- ↑ John Friedlander und Henryk Iwaniec: Opera de Cribro. In: American Mathematical Society (Hrsg.): American Mathematical Society Colloquium Publications. Band 57, 2010, ISBN 978-0-8218-4970-5, S. 23 (englisch).
- ↑ J. B. Friedlander, D.R. Heath-Brown, H. Iwaniec, J. Kaczorowski: Analytic Number Theory: Lectures Given at the C.I.M.E. Summer School Held in Cetraro, Italy, July 11-18, 2002. Hrsg.: Physica-Verlag. Deutschland 2006, S. 16.