Miyaoka-Yau-Ungleichung

In der komplexen Geometrie dient die Miyaoka-Yau-Ungleichung (auch Bogomolov-Miyaoka-Ungleichung) zur Charakterisierung von bestimmten komplexen Mannigfaltigkeiten, den Ballquotienten.

Sei ${\displaystyle S}$ eine kompakte komplexe Fläche von allgemeinem Typ. Dann gilt für die Chern-Klassen ${\displaystyle c_{1}}$ und ${\displaystyle c_{2}}$ die Ungleichung

${\displaystyle c_{1}^{2}\leq 3c_{2}}$

und Gleichheit gilt nur, wenn ${\displaystyle S}$ ein Ballquotient, also eine komplex-hyperbolische Fläche ist.^[1][2]

Sei ${\displaystyle X}$ eine ${\displaystyle n}$-dimensionale komplexe projektive Varietät, deren kanonischer Divisor ${\displaystyle K_{X}}$ ampel ist. Dann gilt die Ungleichung

${\displaystyle \left(c_{2}-{\frac {n}{2(n+1)}}c_{1}^{2}\right)\left[K_{X}\right]^{n-2}\geq 0}$

und Gleichheit gilt nur, wenn ${\displaystyle X}$ ein Ballquotient, also eine komplex-hyperbolische Mannigfaltigkeit ist.^[3]

1. ↑ Y. Miyaoka: On the Chern numbers of surfaces of general type, Inventiones Mathematicae 42, 225–237, 1977.
2. ↑ S. T. Yau: Calabi's conjecture and some new results in algebraic geometry, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 74, 1798–1799, 1977.
3. ↑ D. Greb, S. Kebekus, T. Peternell, B. Taji: The Miyaoka-Yau inequality and uniformization of canonical models, Annales scientifiques de l‘École normale supérieure, 2019.