In der Mathematik stellt das Multinomialtheorem (auch Multinomialformel oder Multinomialsatz) oder Polynomialtheorem eine Verallgemeinerung des binomischen Lehrsatzes auf die Summe beliebig vieler Glieder dar, indem es die Binomialkoeffizienten als Multinomialkoeffizienten verallgemeinert.
Das Multinomialtheorem besagt, dass
![{\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n})^{k}\,=\sum _{k_{1}+\ldots +k_{n}=k \atop k_{1},\ldots ,k_{n}\geq 0}{k \choose k_{1},\ldots ,k_{n}}\,\cdot \,x_{1}^{k_{1}}\cdot x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{n}^{k_{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55361b27a255f648683f06fad9b5cb5f24ab1e4d)
Die Koeffizienten dieses Polynomausdrucks sind die Multinomialkoeffizienten
,
die ihren Namen aufgrund ihres Auftretens im Multinomialtheorem erhalten haben.
Eine kürzere Formulierung erlaubt die Multiindexnotation mit Multiindex
:
![{\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})^{k}=\sum _{|\alpha |=k}{{k} \choose \alpha }\cdot x^{\alpha }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3da950b9b0d10382e9692300ac064a0f3883b7e0)
Dabei identifiziert man
mit dem Vektor
.
Beispiel
Nach Auswerten der Multinomialkoeffizienten erhält man
.
Anwendung
Als Korollar aus dem Multinomialtheorem gewinnt man beispielsweise für Multiindizes die Abschätzung
für alle
mit
,
also
.
Herleitung
Das Multinomialtheorem lässt sich durch folgende Überlegung herleiten: Schreibt man das Produkt
aus, so liest es sich als
.
Beim Ausmultiplizieren der
gleichen Klammerausdrücke fließt in jedes Produkt aus jeder Summe
genau ein Glied ein. Somit entstehen Produkte der Form
mit
. Diese Produkte werden additiv verknüpft, und es bleibt nur noch zu klären, welche Produkte wie oft entstehen. Ein Produkt
entsteht dadurch, dass aus
Klammerausdrücken
-mal die Zahl
ausgewählt wurde,
-mal die Zahl
ausgewählt wurde usw. Für diese Auswahl gibt es aber gerade
Möglichkeiten.
Das Multinomialtheorem lässt sich beispielsweise mit Hilfe einer mehrdimensionalen Taylorentwicklung erster Ordnung oder durch vollständige Induktion über
unter Zuhilfenahme des binomischen Lehrsatzes beweisen.
Siehe auch
Literatur
- S.A. Rukova: Multinomial coefficient. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
- Jaroslav Nesetril, Jiri Matousek: Diskrete Mathematik: Eine Entdeckungsreise. Springer 2007, ISBN 978-3-540-30150-9, S. 79 (Auszug in der Google-Buchsuche)
- Dominique Foata, Aimé Fuchs: Wahrscheinlichkeitsrechnung. Birkhäuser 1999, ISBN 3-7643-6169-7, S. 41–42 (Auszug in der Google-Buchsuche)
Weblinks
- Norbert Henze: Multinomialkoeffizient und multinomialer Lehrsatz In: KIT-Bibliothek Medienportal