Das Oberflächenintegral oder Flächenintegral ist eine Verallgemeinerung des eindimensionalen Integralbegriffes zwecks Anwendung auf ebenen oder gekrümmten Flächen. Das Integrationsgebiet
ist also nicht ein eindimensionales Intervall, sondern eine zweidimensionale Menge im zwei- oder dreidimensionalen Raum. Für eine allgemeinere Darstellung im
-dimensionalen Raum
mit
siehe: Integration auf Mannigfaltigkeiten.
Es wird generell zwischen einem skalaren und einem vektoriellen Oberflächenintegral unterschieden, je nach Form des Integranden und des sogenannten Oberflächenelements. Sie lauten
mit skalarer Funktion
und skalarem Oberflächenelement
sowie
mit vektorwertiger Funktion
und vektoriellem Oberflächenelement
.
mit vektorwertiger Funktion
und skalarem Oberflächenelement
.
mit skalarer Funktion
und vektorwertigem Oberflächenelement
.
Begriffe und Definitionen
Bei der Integration über Flächen treten Parametrisierungen der Fläche an die Stelle der Integrationsvariable und Oberflächenelemente an die Stelle der infinitesimalen (unendlich kleinen) Intervallbreite
.
Parametrisierung
Als zweidimensionale Menge lässt sich eine Oberfläche als Funktion von zwei Variablen darstellen (parametrisieren). Ist
eine Menge, deren Rand keine doppelten Punkte enthält, stetig differenzierbar, nicht unendlich lang und ferner
eine Abbildung von
in den
ist, so sagt man,
ist Parametrisierung der Fläche
, wenn
ist. An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass ein Großteil der Schwierigkeiten im Umgang mit Oberflächenintegralen mit der Parametrisierung zusammenhängt. Es ist a priori nicht klar, dass unterschiedliche Parametrisierungen den gleichen Wert für das Integral erzeugen. Ein Koordinatenwechsel für Oberflächenintegrale ist nicht trivial und ist mithin Motivation für die Verwendung von Differentialformen.
Allgemein lässt sich eine Fläche im
mit zwei Parametern
und
in folgender Form darstellen:
![{\displaystyle \varphi \colon B\to \mathbb {R} ^{3},\quad \left(u,v\right)\mapsto {\vec {\varphi }}\left(u,v\right)=\left({\begin{matrix}x\left(u,v\right)\\y\left(u,v\right)\\z\left(u,v\right)\\\end{matrix}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/026f8ed1a7304685d2e03a438d432ac045b795f6)
Auf der Fläche
bilden die Kurvenscharen
bzw.
die Koordinatenlinien. Diese überziehen die Fläche mit einem Koordinatennetz, wobei durch jeden Punkt zwei Koordinatenlinien verlaufen. Somit hat jeder Punkt auf der Fläche eindeutige Koordinaten
.
Beispiel 1: Parameterdarstellung
Die Oberfläche einer Kugel mit Radius
lässt sich wie folgt parametrisieren:
ist das Rechteck
und
.
Diese Parametrisierung erfüllt die Kugelgleichung
(siehe auch Kugelkoordinaten).
ist hier der Polarwinkel (meist
oder
) und
der Azimutwinkel (meist
oder
bezeichnet).
Beispiel 2: Explizite Darstellung
Ist
eine Funktion und die Fläche in der Form
angegeben, so sind
und
die beiden Parameter; die Parametrisierung der Fläche sieht also wie folgt aus:
![{\displaystyle {\vec {\varphi }}\left(x,y\right)=\left({\begin{matrix}x\\y\\f\left(x,y\right)\\\end{matrix}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac08f3135d96caa0b6ab1128f92f3f2ce74218f8)
Oberflächenelement
Wenn im eindimensionalen Fall das
die Breite eines unendlich kleinen Intervalls darstellt, so liegt es nahe, es im zweidimensionalen Fall durch die Fläche eines unendlich kleinen Flächenstückes
zu ersetzen. Durch die im vorhergehenden Abschnitt beschriebene Parametrisierung kann man an jeden Punkt der Oberfläche zwei Tangenten legen (siehe auch: Krummlinige Koordinaten): Einmal die Tangente, die entsteht, wenn man
konstant lässt und
minimal variiert, und einmal mit vertauschten Variablen. Das heißt also zwei Tangenten an die beiden Koordinatenlinien im betrachteten Punkt
. Diese Tangenten lassen sich durch zwei infinitesimale Tangentenvektoren ausdrücken (sei
die parametrisierte Form der Fläche):
und ![{\displaystyle \left.{\frac {\partial {\vec {\varphi }}}{\partial v}}\right|_{u_{0},v_{0}}\mathrm {d} v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51b7fe0e5eb0a95887719004c295a2a58fb152af)
Im Folgenden wird die kompakte Schreibweise für die partiellen Ableitungen verwendet:
und ![{\displaystyle {\vec {\varphi }}_{v}={\frac {\partial {\vec {\varphi }}}{\partial v}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abb52f49a0e6814e1be4c46431b11d7607d50920)
Sind diese Tangenten in keinem Punkt der Fläche parallel, so spricht man von einer regulären Parametrisierung. Das Kreuzprodukt der Tangentenvektoren ist dann ein Vektor, dessen Länge ungleich Null ist.
![{\displaystyle \left|\left|{\vec {\varphi }}_{u}\times {\vec {\varphi }}_{v}\right|\right|\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dafa49c5d3a27a013d1c78817a14e05621c2af4d)
Die beiden Tangentenvektoren liegen in der Tangentialebene der Fläche am betrachteten Punkt. Der Flächeninhalt des von beiden Tangentenvektoren aufgespannten Parallelogramms entspricht nun gerade dem Betrag ihres Kreuzproduktes.
Ist nun
eine reguläre Parametrisierung der Oberfläche, so definiert man:
- Skalares Oberflächenelement
![{\displaystyle \mathrm {d} \sigma =\left|\left|{\vec {\varphi }}_{u}\times {\vec {\varphi }}_{v}\right|\right|\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2ed83b9d7f23f8a832b3d582749f8f127bb30a7)
- Vektorielles Oberflächenelement
mit dem Einheitsnormalenvektor des Flächenelements ![{\displaystyle {\hat {n}}={\frac {{\vec {\varphi }}_{u}\times {\vec {\varphi }}_{v}}{\left|\left|{\vec {\varphi }}_{u}\times {\vec {\varphi }}_{v}\right|\right|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6649a8d51824737fc607ae5aa673b68ab5bc686b)
Gemäß den Eigenschaften des Kreuzprodukts steht das vektorielle Oberflächenelement senkrecht auf der Fläche, sein Betrag entspricht gerade der Größe des infinitesimalen Flächenstücks.
In der oben vorgestellten Form ist das vektorielle Oberflächenelement nicht wohldefiniert, da seine Richtung davon abhängt ob man
oder
berechnet. Die beiden Möglichkeiten sind antiparallel zueinander. Betrachtet man geschlossene Oberflächen, vereinbart man meist, dass das nach außen weisende vektorielle Oberflächenelement zu verwenden ist.
Beispiel 1: Parameterdarstellung
Die Oberfläche der Kugel mit Radius R kann, wie oben gezeigt, durch den Polarwinkel
und den Azimutwinkel
parametrisiert werden. Das Flächenelement ergibt sich aus folgender Rechnung:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\vec {\varphi }}=R\left({\begin{matrix}\sin u\ \cos v\\\sin u\ \sin v\\\cos u\\\end{matrix}}\right),\quad {\vec {\varphi }}_{u}=R\left({\begin{matrix}\cos u\ \cos v\\\cos u\ \sin v\\-\sin u\\\end{matrix}}\right),\quad {\vec {\varphi }}_{v}=R\left({\begin{matrix}-\sin u\ \sin v\\\sin u\ \cos v\\0\\\end{matrix}}\right),\\&\pm \left({\vec {\varphi }}_{u}\times {\vec {\varphi }}_{v}\right)=\pm R^{2}\sin u\left({\begin{matrix}\sin u\ \cos v\\\sin u\ \sin v\\\cos u\\\end{matrix}}\right),\quad \left|\left|\pm \left({\vec {\varphi }}_{u}\times {\vec {\varphi }}_{v}\right)\right|\right|=R^{2}\sin u,\\&{\hat {n}}=\pm \left({\begin{matrix}\sin u\ \cos v\\\sin u\ \sin v\\\cos u\\\end{matrix}}\right),\quad \mathrm {d} {\vec {\sigma }}={\hat {n}}\,\mathrm {d} \sigma ={\hat {n}}\ R^{2}\sin u\ \mathrm {d} u\,\mathrm {d} v\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faf6a0b201494baaf5faa25637d5faff73beeae4)
Beim Normalenvektor sind zwei Lösungen möglich (
), abhängig von der Reihenfolge von
und
im Kreuzprodukt. Typischerweise wählt man hier die positive Lösung, bei der
von der konvexen Kugeloberfläche weg zeigt (sog. „äußere Normale“).
Beispiel 2: Explizite Darstellung
Ist die Fläche in der Form
angegeben, so drückt man das Flächenelement durch die Differentiale der Koordinaten
,
aus.
![{\displaystyle {\vec {\varphi }}=\left({\begin{matrix}x\\y\\f(x,y)\end{matrix}}\right),\quad {\vec {\varphi }}_{x}=\left({\begin{matrix}1\\0\\f_{x}\end{matrix}}\right),\quad {\vec {\varphi }}_{y}=\left({\begin{matrix}0\\1\\f_{y}\end{matrix}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34423f7f6de4b2d61bbbc5758cac934ae620bf57)
![{\displaystyle \pm \left({\vec {\varphi }}_{x}\times {\vec {\varphi }}_{y}\right)=\pm \left({\begin{matrix}-f_{x}\\-f_{y}\\1\end{matrix}}\right),\quad \left|\left|\pm \left({\vec {\varphi }}_{x}\times {\vec {\varphi }}_{y}\right)\right|\right|={\sqrt {f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1}}\ ,\quad {\hat {n}}=\pm {\frac {1}{\sqrt {f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1}}}\left({\begin{matrix}-f_{x}\\-f_{y}\\1\end{matrix}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9beb8f454fbddeb517efc438e86e2f546ecd27f8)
Somit sind Flächenelement und vektorielles Flächenelement gleich:
![{\displaystyle \mathrm {d} \sigma ={\sqrt {f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1}}\ \mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/004cf20e253e2057281bb1ab91c0ef8a6a74997b)
![{\displaystyle \mathrm {d} {\vec {\sigma }}={\hat {n}}\ {\sqrt {f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1}}\ \mathrm {d} x\,\mathrm {d} y={\begin{pmatrix}-f_{x}\\-f_{y}\\1\end{pmatrix}}\ \mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94c3ea8618a40f31a050ae70642ab04f5751fc54)
Projektion auf Fläche mit bekanntem Flächenelement
Wir gehen im Folgenden davon aus, dass eine Fläche
mit ihrem Flächenelement
und zugehörigem Normalenvektor
bekannt ist. Z. B.
und ![{\displaystyle {\hat {n}}_{A}={\hat {e}}_{z}=\left({\begin{matrix}0\\0\\1\\\end{matrix}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a5aa8b5a5616e18eeed1f5d3aa2907cfcf4a877)
- Mantelfläche eines Kreiszylinders mit Radius
:
und ![{\displaystyle {\hat {n}}_{A}={\hat {e}}_{\rho }=\left({\begin{matrix}\cos \varphi \\\sin \varphi \\0\\\end{matrix}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdfc3921a5a1287863c6b7fa6bfe4fa2c2c84a23)
- Kugeloberfläche mit Radius
:
und ![{\displaystyle {\hat {n}}_{A}={\hat {e}}_{r}=\left({\begin{matrix}\sin \vartheta \ \cos \varphi \\\sin \vartheta \ \sin \varphi \\\cos \vartheta \\\end{matrix}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ceffe9922a6fcb7f06e7a2bebe56c7a79f9bdfc)
Für eine weitere Fläche
mit Normalenvektor
soll das Flächenelement
ermittelt werden. Die Fläche ist etwa durch
gegeben und somit der Normalenvektor gleich
.
Wir projizieren nun
entlang von
auf
. Dann lassen sich die Flächenelemente mittels
für
verknüpfen:
![{\displaystyle \mathrm {d} \sigma ={\frac {\mathrm {d} A}{|{\hat {n}}_{\mathcal {F}}\cdot {\hat {n}}_{A}|}}={\frac {\|\nabla g\|\,\mathrm {d} A}{|\nabla g\cdot {\hat {n}}_{A}|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afe8e6023cb8468760ea96fb8ac40815173eadfa)
Dabei darf jede Gerade entlang der Normalenvektoren
die Fläche
nur einmal schneiden. Sonst muss man die Fläche
aufteilen in kleinere Flächen
, deren Projektion dann eindeutig ist, oder eine andere Grundfläche
wählen.
Das vektorielle Flächenelement ist:
![{\displaystyle \mathrm {d} {\vec {\sigma }}={\hat {n}}_{\mathcal {F}}{\frac {\mathrm {d} A}{|{\hat {n}}_{\mathcal {F}}\cdot {\hat {n}}_{A}|}}={\frac {\nabla g}{\|\nabla g\|}}{\frac {\|\nabla g\|\,\mathrm {d} A}{|\nabla g\cdot {\hat {n}}_{A}|}}={\frac {\nabla g\,\mathrm {d} A}{|\nabla g\cdot {\hat {n}}_{A}|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5b4de3ccef49554ef228741806ff21ecd7f91fb)
Beispiel 1
Sei eine Fläche
der Form
gegeben, so gilt
und damit:
![{\displaystyle \nabla g={\begin{pmatrix}-f_{x}\\-f_{y}\\1\end{pmatrix}}\ ,\quad \|\nabla g\|={\sqrt {f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1}}\ ,\quad {\hat {n}}_{\mathcal {F}}={\frac {\nabla g}{\|\nabla g\|}}={\frac {1}{\sqrt {f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1}}}{\begin{pmatrix}-f_{x}\\-f_{y}\\1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fef2093014d9e607b24828135fbf4f36103c64a)
Diese Fläche wird nun in die
-Ebene projiziert mit
und
; dabei ist
![{\displaystyle \mathrm {d} \sigma ={\frac {\|\nabla g\|\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y}{|\nabla g\cdot {\hat {e}}_{z}|}}={\frac {{\sqrt {f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1}}\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y}{|{\hat {e}}_{z}\cdot {\hat {e}}_{z}|}}={\sqrt {f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1}}\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6cdcfe829f4feda5ff4c20079970e87116c3526)
![{\displaystyle \mathrm {d} {\vec {\sigma }}={\frac {\nabla g\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y}{|\nabla g\cdot {\hat {e}}_{z}|}}={\begin{pmatrix}-f_{x}\\-f_{y}\\1\end{pmatrix}}\mathrm {d} x\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c800fbcd6fc324c800a9f92f9cdb0173bd8d83e4)
Beispiel 2
Gesucht ist das Flächenelement eines Rotationskörpers um die
-Achse mit
, also
.
![{\displaystyle \nabla g={\hat {e}}_{\rho }-f_{z}{\hat {e}}_{z}\ ,\quad \|\nabla g\|={\sqrt {1+f_{z}^{2}}}\ ,\quad {\hat {n}}_{\mathcal {F}}={\frac {\nabla g}{\|\nabla g\|}}={\frac {{\hat {e}}_{\rho }-f_{z}{\hat {e}}_{z}}{\sqrt {1+f_{z}^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/570961011d76c54567a17ca2756c98bd100e7bfc)
Durch Projektion auf die Mantelfläche eines Kreiszylinders mit Radius
erhält man das Flächenelement:
![{\displaystyle \mathrm {d} \sigma ={\frac {\|\nabla g\|\,\rho \,\mathrm {d} \varphi \mathrm {d} z}{|\nabla g\cdot {\hat {e}}_{z}|}}={\frac {{\sqrt {1+f_{z}^{2}}}\,f(z)\,\mathrm {d} \varphi \mathrm {d} z}{|({\hat {e}}_{\rho }-f_{z}{\hat {e}}_{z})\cdot {\hat {e}}_{\rho }|}}={\sqrt {1+f_{z}^{2}}}\,f(z)\,\mathrm {d} \varphi \mathrm {d} z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58f5ad1c422654fd50052d608c924e5377f57da3)
![{\displaystyle \mathrm {d} {\vec {\sigma }}=({\hat {e}}_{\rho }-f_{z}{\hat {e}}_{z})\,f(z)\,\mathrm {d} \varphi \mathrm {d} z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/650af8c09d51257a2241ee6805c527e96caab274)
Die Integrale
Mit den Parametrisierungen und den Oberflächenelementen kann man nun die Oberflächenintegrale definieren. Diese mehrdimensionalen Integrale sind Lebesgue-Integrale, können aber in den meisten Anwendungsfällen als mehrfache Riemann-Integrale berechnet werden.
Das skalare Oberflächenintegral
Das skalare Oberflächenintegral einer skalaren Funktion
über eine Oberfläche
mit regulärer Parametrisierung
mit
ist definiert als
.
Setzt man beispielsweise
, so ist das skalare Oberflächenintegral einfach der Flächeninhalt der Oberfläche.
Beispiel: Oberflächeninhalt einer Kugel
Mit dem Flächenelement für Kugelkoordinaten
![{\displaystyle \mathrm {d} \sigma =r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe4b01f0adc470d2bbe162a000aefa42508cc5b0)
ergibt sich für den Flächeninhalt
der Oberfläche
einer Kugel mit dem Radius
:
.
Das vektorielle Oberflächenintegral
Das vektorielle Oberflächenintegral einer vektorwertigen Funktion
über eine Oberfläche
mit regulärer Parametrisierung
mit
ist definiert als
.
Eine anschauliche Vorstellung dieses Integrals geschieht über den Fluss
eines Vektorfeldes
durch die Fläche
: Die Größe
gibt an, welchen Beitrag zum Gesamtfluss
der infinitesimal-kleine Oberflächen-Vektor
liefert; nämlich wie viel von
durch das Oberflächenstück
fließt. Der Fluss ist maximal, wenn das Vektorfeld
parallel zur Flächennormale
steht, und null, wenn
senkrecht zu
steht, also tangential zur Oberfläche ist – dann "fließt"
entlang der Oberfläche, aber nicht durch sie hindurch.
Beispiel: Fluss eines Vektorfeldes durch eine Kugeloberfläche
Gegeben sei ein radialsymmetrisches Vektorfeld
![{\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}})={\dfrac {C}{r^{2}}}\cdot {\dfrac {\vec {r}}{r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4d8fcb368ef3517fb551b5fd0aec70ee4893682)
mit einer Konstanten
, dem Ortsvektor
und seinem Betrag
. Bei dem Vektor
handelt es sich somit um einen Einheitsvektor in Richtung des Ortsvektors. In der Physik ist zum Beispiel das elektrische Feld einer Punktladung
im Koordinatenursprung von dieser Form: siehe Coulombsches Gesetz.
Aus Symmetriegründen verwendet man Kugelkoordinaten. Das vektorielle Oberflächenelement
für eine Kugel mit Radius
und Mittelpunkt im Koordinatenursprung ist
.
Für den Fluss
des Vektorfeldes
durch die Oberfläche
einer Kugel mit Radius
ergibt sich:
.
Der Fluss
des Vektorfeldes durch die Kugeloberfläche ist somit unabhängig vom Kugelradius
. Für das physikalische Beispiel des elektrischen Feldes einer Punktladung ist dieses Ergebnis ein Spezialfall des Gaußschen Gesetzes der Elektrostatik.
Literatur
- G. Bärwolff: Höhere Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure. 2. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, 2006, ISBN 978-3-8274-1688-9
- K. F. Riley, M. P. Hobson: Mathematical Methods for Physics and Engineering. 3. Auflage. Cambridge University Press, 2006, ISBN 978-0-521-67971-8
- K. Endl / W. Luh: Analysis. Band 2. Akademische Verlagsgesellschaft, 1973, ISBN 3-400-00206-2.