Omega-Konstante

Die Omega-Konstante ${\displaystyle \Omega }$ ist eine mathematische Konstante, die implizit durch

${\displaystyle \Omega e^{\Omega }=1}$

mit der Eulerschen Zahl ${\displaystyle e}$ definiert ist. Es gilt

${\displaystyle \Omega =W(1),}$

wobei ${\displaystyle W}$ die Lambertsche W-Funktion ist. Die Bezeichnung ${\displaystyle \Omega }$ kommt von Omegafunktion, dem zweiten Namen der Lambertschen W-Funktion.

Die ersten Dezimalstellen von ${\displaystyle \Omega }$ lauten

${\displaystyle \Omega =0{,}567\,143\,290\,409\,783\,872\,999\,968\,662\,210\dots }$^[1]

• ${\displaystyle \Omega =\ln \left({\frac {1}{\Omega }}\right)}$
• ${\displaystyle \Omega =-\ln(\Omega )}$
• ${\displaystyle \Omega =e^{-\Omega }}$ oder ${\displaystyle 1/\Omega =e^{\Omega }}$, d. h., an der Stelle ${\displaystyle \Omega }$ schneiden sich die Exponentialfunktion ${\displaystyle x\mapsto e^{x}}$ und die Funktion ${\displaystyle x\mapsto 1/x}$.
• Wenn man einen Potenzturm anlegt, der mit ${\displaystyle e}$ beginnt und mit ${\displaystyle -e}$ nach oben geht, bekommt man ${\displaystyle \Omega }$:

${\displaystyle \Omega =e^{-e^{-e^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$

• In etwas anderen Worten bedeutet dies, dass ${\displaystyle \Omega }$ der Grenzwert der durch

${\displaystyle \Omega _{n+1}=e^{-\Omega _{n}}}$

mit beliebigem Startwert ${\displaystyle \Omega _{0}}$ rekursiv definierten Folge ist.

• Durch

${\displaystyle \Omega =e^{-1}\uparrow \uparrow \infty :=\lim _{n\to \infty }e^{-1}\uparrow \uparrow n}$

kommt in der sog. Pfeilschreibweise die Beziehung

${\displaystyle \Omega =(1/e)^{(1/e)^{(1/e)^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$

zum Ausdruck, dass ${\displaystyle \Omega }$ also der Wert dieses unendlichen Potenzturmes mit lauter gleichen Basen ${\displaystyle 1/e}$ ist, was wiederum nur eine ziemlich triviale Umformulierung der beiden vorstehenden Eigenschaften darstellt.

• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(e^{t}-t)^{2}+\pi ^{2}}}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{1+\Omega }}=0{,}638\,103\,743\,365\,110\,778\,522\,407\,385\,519\dots }$^[2]
• ${\displaystyle \Omega ={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Re} \int _{0}^{\pi }\log \left({\frac {e^{e^{it}}-e^{-it}}{e^{e^{it}}-e^{it}}}\right)\,\mathrm {d} t}$,^[3] wobei mittels ${\displaystyle \operatorname {Re} }$ der Realteil des Integrals gebildet wird.
• ${\displaystyle \Omega }$ ist eine transzendente Zahl.

Wäre nämlich ${\displaystyle \Omega }$ eine algebraische Zahl, wäre nach dem Satz von Lindemann-Weierstraß ${\displaystyle e^{-\Omega }}$ transzendent. Das widerspricht aber ${\displaystyle e^{-\Omega }=\Omega }$, sodass ${\displaystyle \Omega }$ eine transzendente Zahl sein muss.

1. ↑ Folge A030178 in OEIS
2. ↑ Folge A115287 in OEIS
3. ↑ István Mező: An integral representation for the principal branch of Lambert the W function. Abgerufen am 19. November 2018. 

• Eric W. Weisstein: Omega Constant. In: MathWorld (englisch).
• Folge A030178 in OEIS