Polardreieck

{\displaystyle \triangle ABC} — Figur 1. Sphärisches Dreieck $\triangle ABC$ (blau) mit zugehörigem Polardreieck $\triangle A'B'C'$ (rot).

Ein sphärisches Dreieck hat ein aus ihm hervorgehendes Polardreieck, dessen Ecken die sogenannten Pole der Dreiecksseiten sind. Aus ihm lassen sich verschiedene Verwandtschaften herleiten, wie z. B. der Winkel-Kosinussatz aus dem (üblichen) Seiten-Kosinussatz.

Unter einem Pol eines Großkreises versteht man die beiden Schnittpunkte der Kreisachse mit der Trägerkugel.

Der Name „Polardreieck“ orientiert sich an der Namensgebung auf der Erdkugel: die beiden Pole des Äquators – der einem Großkreis in besonderer Lage entspricht – sind der Nord- und Südpol.

Dem Schnittwinkel α zweier Großkreise kann ein Polarbogen zugeordnet werden, indem man die „äußeren“ Pole der beiden Großkreise durch einen Großkreisbogen a* verbindet. Führt man diese für alle 3 Winkel durch, so entspricht jedem originalen Dreieckswinkel β eine Polare b*, und umgekehrt jeder Dreiecksseite b ein Polarwinkel β, womit sich das Polardreieck definieren lässt: Es besteht aus den drei Polarbögen a*, b* und c* der drei Winkel α, β und γ.

Bei formelmäßiger Durchführung erhält man Beziehungen der Form $\alpha +a^{\ast }=180^{\circ }$ und kann in weiterer Folge einen sphärischen Satz (z. B. den Kosinussatz der 3 Seiten a, b, c und eines Winkels) in sein Äquivalent (den Kosinussatz der 3 Winkel und einer Seite) umwandeln.