Der Polylogarithmus ist eine spezielle Funktion, die durch die Reihe
definiert ist. Für geht der Polylogarithmus in den gewöhnlichen Logarithmus über:
In den Fällen und spricht man entsprechend von Dilogarithmus bzw. Trilogarithmus. Die Definition gilt für komplexe und mit . Durch analytische Fortsetzung lässt sich diese Definition auf weitere ausdehnen.
In den wichtigsten Anwendungsfällen ist eine natürliche Zahl. Für diese Fälle kann man den Polylogarithmus rekursiv durch
definieren, wonach der Dilogarithmus ein Integral des Logarithmus ist, der Trilogarithmus ein Integral des Dilogarithmus und so fort. Für negative ganzzahlige Werte von lässt sich der Polylogarithmus durch rationale Funktionen ausdrücken.
Der Polylogarithmus taucht beispielsweise im Zusammenhang mit der Fermi-Dirac-Verteilung und der Bose-Einstein-Verteilung auf. Zudem kann mit ihm im hexadezimalen Zahlensystem eine beliebige Stelle von polylogarithmischen Konstanten (z. B. ) einzeln berechnet werden.
Inhaltsverzeichnis
1Funktionswerte und Rekursionen
1.1Funktionswerte mit Index unter Zwei
1.2Funktionswerte mit positivem Index
2Ableitung
3Integraldarstellung
4Verallgemeinerungen
4.1Mehrdimensionale Polylogarithmen
4.2Lerchsche Zeta-Funktion
4.3Nielsens verallgemeinerte Polylogarithmen
5Siehe auch
6Literatur
7Weblinks
8Einzelnachweise
Funktionswerte und Rekursionen
Funktionswerte mit Index unter Zwei
Einige explizite Funktionsterme für spezielle ganzzahlige Werte von :
Formal kann man mit der (für alle divergierenden) Reihe definieren. Obwohl diese Reihe nicht konvergiert, kann diese Definition zum Beweis von Funktionalgleichungen (im Ring der formal definierten Laurent-Reihen) verwendet werden.
Für alle ganzzahligen nichtpositiven Werte vom Index kann der Polylogarithmus als Quotient von Polynomen geschrieben werden. In diesen Fällen ist er also eine rationale Funktion.
Funktionswerte mit positivem Index
Es gilt
und
Der Buchstabe stellt dabei die Riemannsche Zetafunktion und der Buchstabe die Dirichletsche Etafunktion[1] dar.
Für größeres sind keine weiteren derartigen Formeln bekannt.
Die zwei bekanntesten Werte des Dilogarithmus und somit des Polylogarithmus mit Indexzahl Zwei sind die folgenden Werte:
Diese beiden Werte gehen direkt aus der folgenden Integralidentität für den Dilogarithmus hervor:
Durch das Einsetzen der Werte sowie erscheinen direkt die soeben genannten Funktionswerte.
Alexander Goncharov: Polylogarithms in arithmetic and geometry. (PDF; 228 kB) In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Zürich, 1994). Birkhäuser, Basel 1995, Vol. 1, 2, S. 374–387.