Q-invariante Verteilungsklasse

Eine Q-invariante Verteilungsklasse ist eine spezielle Verteilungsklasse in der mathematischen Statistik, die sich dadurch auszeichnet, dass die in ihr enthaltenen Wahrscheinlichkeitsmaße abgeschlossen sind bezüglich der Bildung von gewissen Bildmaßen. Spezialfall einer Q-invarianten Verteilungsklasse sind die Lokationsklassen und die Skalenfamilien.

Anwendung finden Q-invariante Verteilungsklassen beispielsweise bei der Untersuchung von äquivarianten Schätzern.

Sei ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ eine Gruppe (bezüglich der Verkettung von Funktionen ${\displaystyle \circ }$) von messbaren Funktionen von ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ nach ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$.

Sei ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\mathcal {Q}}}$ eine Menge von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ und ${\displaystyle P^{f}}$ das Bildmaß des Wahrscheinlichkeitsmaßes ${\displaystyle P}$ unter der Funktion ${\displaystyle f}$.

Dann heißt ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\mathcal {Q}}}$ eine Q-invariante Verteilungsklasse, wenn für jedes ${\displaystyle P\in {\mathcal {P}}_{\mathcal {Q}}}$ und jedes ${\displaystyle q\in {\mathcal {Q}}}$ gilt, dass

${\displaystyle P^{q}\in {\mathcal {P}}_{\mathcal {Q}}}$

ist.

Wählt man ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$ und als Gruppe die Gruppe der Translationen auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$, also

${\displaystyle T_{\vartheta }(x):=x-\vartheta {\text{ und }}{\mathcal {Q}}:=\{T_{\vartheta }\,|\,\vartheta \in \mathbb {R} \}}$,

so wäre eine Lokationsklasse eine Q-invariante Verteilungsklasse, denn die Lokationsklassen entstehen genau aus der Verschiebung eines Wahrscheinlichkeitsmaßes entlang der x-Achse.

Umgekehrt ist aber nicht jede Q-invariante Verteilungsklasse mit dem oben definierten ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ eine Lokationsklasse. Die Q-invariante Verteilungsklasse könnte beispielsweise aus zwei oder mehr unterschiedlichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch Verschiebung hervorgegangen sein, was bei Lokationsklassen nicht möglich ist, denn diese sind immer Verschiebungen eines Maßes. Vereinigungen Q-invarianter Verteilungsklassen sind offenbar wieder Q-invariant, für Lokationsklassen gilt das nicht.

Wählt man ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})=(\mathbb {R} _{+}^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} _{+}^{n}))}$, aber als Gruppe die Gruppe der Multiplikationen mit ${\displaystyle \vartheta \in (0,\infty )}$, also

${\displaystyle S_{\vartheta }(x):=\vartheta \cdot x{\text{ und }}{\mathcal {Q}}:=\{S_{\vartheta }\,|\,\vartheta \in (0,\infty )\}}$,

dann ist für ein vorgegebenes Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle P}$ auf ${\displaystyle (\mathbb {R} _{+}^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} _{+}^{n}))}$ die Menge

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\mathcal {Q}}:=\{P^{S}\,|\,S\in {\mathcal {Q}}\}}$

eine Q-invariante Verteilungsklasse, die sogenannte von dem Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle P}$ erzeugte Skalenfamilie.

• Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.