Robbins-Konstante

Die Robbins-Konstante, benannt nach David P. Robbins, ist eine geometrische Konstante, die den erwarteten euklidischen Abstand zweier Punkte des dreidimensionalen Einheitswürfels [ 0 , 1 ] 3 ⊂ R 3 {\displaystyle [0,1]^{3}\subset \mathbb {R} ^{3}} angibt, die zufällig, unabhängig und gleichverteilt gezogen werden. Die Konstante hat dabei den folgenden Wert:[1]

4 + 17 2 − 6 3 − 7 π 105 + ln ⁡ ( 1 + 2 ) 5 + 2 ln ⁡ ( 2 + 3 ) 5 . {\displaystyle {\frac {4+17{\sqrt {2}}-6{\sqrt {3}}-7\pi }{105}}+{\frac {\ln(1+{\sqrt {2}})}{5}}+{\frac {2\ln(2+{\sqrt {3}})}{5}}.}

Ihre Dezimalentwicklung beginnt mit (Folge A073012 in OEIS):[2]

0,661 70718226717623515583 … {\displaystyle 0{,}66170718226717623515583\ldots }

Erläuterung

Der graue Bereich besteht aus den Punkten ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle (x_{1},x_{2})} mit ( x 1 − x 2 ) 2 ≤ t {\displaystyle (x_{1}-x_{2})^{2}\leq t} , dessen Fläche F ( t ) {\displaystyle F(t)} ist.

Es soll kurz angedeutet werden, warum es hier zu einem derart komplizierten Ausdruck kommt. Letztlich geht es um das Integral

∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 ( x 1 − x 2 ) 2 + ( y 1 − y 2 ) 2 + ( z 1 − z 2 ) 2 d x 1 d x 2 d y 1 d y 2 d z 1 d z 2 {\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}}}\mathrm {d} x_{1}\mathrm {d} x_{2}\mathrm {d} y_{1}\mathrm {d} y_{2}\mathrm {d} z_{1}\mathrm {d} z_{2}} ,

dessen Berechnung mittels wahrscheinlichkeitstheoretischer Ansätze wie folgt durchgeführt werden kann. Sind ( X 1 , Y 1 , Z 1 ) {\displaystyle (X_{1},Y_{1},Z_{1})} und ( X 2 , Y 2 , Z 2 ) {\displaystyle (X_{2},Y_{2},Z_{2})} die zufällig gezogenen Punkte, so muss zur Ermittlung des gesuchten erwarteten Abstandes die Wahrscheinlichkeitsverteilung von ( X 1 − X 2 ) 2 + ( Y 1 − Y 2 ) 2 + ( Z 1 − Z 2 ) 2 {\displaystyle {\sqrt {(X_{1}-X_{2})^{2}+(Y_{1}-Y_{2})^{2}+(Z_{1}-Z_{2})^{2}}}} ermittelt werden. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung F ( t ) := P ( { ( X 1 − X 2 ) 2 ≤ t } ) {\displaystyle F(t):=P(\{(X_{1}-X_{2})^{2}\leq t\})} hat die Form F ( t ) = 1 − ( 1 − t ) 2 , t ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle F(t)=1-(1-{\sqrt {t}})^{2},\quad t\in [0,1]} , wie an nebenstehender Skizze abgelesen werden kann. Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte erhält man durch Ableiten: f ( t ) = d F ( t ) d t = 1 t − 1 {\displaystyle f(t)={\tfrac {\mathrm {d} F(t)}{\mathrm {d} t}}={\tfrac {1}{\sqrt {t}}}-1} . Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Summe ( X 1 − X 2 ) 2 + ( Y 1 − Y 2 ) 2 + ( Z 1 − Z 2 ) 2 {\displaystyle (X_{1}-X_{2})^{2}+(Y_{1}-Y_{2})^{2}+(Z_{1}-Z_{2})^{2}} ist dann die Faltung f ∗ f ∗ f {\displaystyle f*f*f} , wobei komplizierte Integrale entstehen. Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung G ( t ) = ∫ 0 t ( f ∗ f ∗ f ) ( s ) d s {\displaystyle G(t)=\int _{0}^{t}(f*f*f)(s)\mathrm {d} s} beschreibt die Summe der Quadrate der Koordinatendifferenzen, aber wir benötigen die Wurzel aus dieser Summe. Die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung ist daher H ( t ) = G ( t 2 ) {\displaystyle H(t)=G(t^{2})} mit zugehöriger Dichte h ( t ) := d G ( t 2 ) d t = 2 t ⋅ ( f ∗ f ∗ f ) ( t 2 ) {\displaystyle h(t):={\tfrac {\mathrm {d} G(t^{2})}{\mathrm {d} t}}=2t\cdot (f*f*f)(t^{2})} . Das Integral ∫ t h ( t ) d t {\displaystyle \int th(t)\mathrm {d} t} ist schließlich der gesuchte Erwartungswert. Die aufwändigen Rechnungen sind in der unten angegebenen Arbeit[3] mit Maple-Unterstützung ausgeführt, wobei statt des Einheitswürfels der noch kompliziertere Fall eines Quaders behandelt ist.

Einzelnachweise

  1. ↑ Robbins, David P.; Bolis, Theodore S. (1978), Average distance between two points in a box (solution to elementary problem E2629), American Mathematical Monthly, 85 (4): 277-278
  2. ↑ Simon Plouffe: The Robbins Constant. Miscellaneous Mathematical Constants.
  3. ↑ Johan Philip: The probability distribution of the distance between two random points in a box