Satz von Itō-Nisio

Der Satz von Itō-Nisio ist ein mathematischer Satz aus der Stochastik, der die Konvergenz in Banach-Räumen charakterisiert. Er zeigt die Äquivalenz der Konvergenzarten für Summen von unabhängigen und symmetrischen Zufallsvariablen in Banach-Räumen. Der Satz führt zu einer Verallgemeinerung der Wiener-Konstruktion der brownschen Bewegung und folglich zu einer neuen Definition der brownschen Bewegung.^[1]

Die Aussagen des Theorems wurden ursprünglich in zwei Varianten formuliert, eine Aussage für symmetrische Verteilungen und eine für allgemeine Verteilungen, wobei heute der symmetrische Fall als Satz von Itō-Nisio bezeichnet wird. Die Symmetrie-Eigenschaft benötigt man, da man in einem unendlichdimensionalen Raum ist.

Der Satz wurde 1968 von den japanischen Mathematikern Itō Kiyoshi und Makiko Nisio bewiesen.^[2]

Sei ${\displaystyle (E,\|\cdot \|)}$ ist ein separabler Banach-Raum über ${\displaystyle \mathbb {R} }$ mit der durch die Norm induzierten Topologie und ${\displaystyle E^{*}}$ sein Dualraum.

Mit ${\displaystyle X:\Omega \to E}$ bezeichnen wir eine ${\displaystyle E}$-Zufallsvariable, das heißt eine Banach-wertige Zufallsvariable. Mit ${\displaystyle \langle z,S\rangle :={}_{E^{*}}\langle z,S\rangle _{E}}$ bezeichnen wir die duale Paarung.

Seien ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ unabhängige und symmetrische ${\displaystyle E}$-Zufallsvariablen auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum. Sei ${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}X_{n}}$ deren Summe und ${\displaystyle \mu _{n}}$ das Wahrscheinlichkeitsmaß von ${\displaystyle S_{n}}$. Weiter sei ${\displaystyle S}$ eine ${\displaystyle E}$-Zufallsvariable. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

1. ${\displaystyle S_{n}\to S}$ konvergiert fast sicher.
2. ${\displaystyle S_{n}\to S}$ konvergiert in Wahrscheinlichkeit.
3. ${\displaystyle \mu _{n}}$ konvergiert in der Prochorow-Metrik.
4. ${\displaystyle \{\mu _{n}\}}$ sind straff.
5. ${\displaystyle \langle z,S_{n}\rangle \to \langle z,S\rangle }$ in Wahrscheinlichkeit für jedes ${\displaystyle z\in E^{*}}$.
6. Es existiert ein Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle \mu }$ auf ${\displaystyle E}$, so dass für jedes ${\displaystyle z\in E^{*}}$

${\displaystyle \mathbb {E} [e^{i\langle z,S_{n}\rangle }]\to \int _{E}e^{i\langle z,x\rangle }\mu (\mathrm {d} x).}$

Für nicht-symmetrische Zufallsvariablen:

• in endlicher Dimension gilt die Äquivalenz für alle Punkte außer ${\displaystyle 4}$ (d. h. die Straffheit von ${\displaystyle \{\mu _{n}\}}$),
• in unendliche Dimension gilt ${\displaystyle 1\iff 2\iff 3}$ aber ${\displaystyle 6\implies 3}$ gilt im Allgemeinen nicht.

Sei ${\displaystyle (B(t))_{t\in [0,1]}}$ eine brownsche Bewegung mit ${\displaystyle B(0)=0}$. Dann existiert ein Isomorphismus zwischen dem reellen Hilbertraum ${\displaystyle L^{2}[0,1]}$ und dem durch die ${\displaystyle B(t)}$ aufgespannten reellen Hilbertraum ${\displaystyle CM}$ in ${\displaystyle L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ (CM steht für Cameron-Martin) durch

${\displaystyle \varphi \to \int _{0}^{1}\varphi \mathrm {d} B(u)=:\xi .}$

Sei ${\displaystyle \{\varphi _{n}\}}$ eine Orthonormalbasis in ${\displaystyle L^{2}[0,1]}$ und ${\displaystyle \{\xi _{n}\}}$ die dazugehörige Orthonormalbasis in ${\displaystyle CM}$. Die ${\displaystyle \{\xi _{n}\}}$ sind unabhängig.

Dann konvergiert die zufällige orthogonale Reihenentwicklung

${\displaystyle B_{n}(t)=\sum \limits _{j=1}^{n}b_{j}(t)\xi _{j}:=\sum \limits _{j=1}^{n}\xi _{j}\int _{0}^{t}\varphi _{j}(u)\mathrm {d} u.}$

gleichmäßig zur brownschen Bewegung

${\displaystyle B_{n}(t)\to B(t)}$

fast sicher.^[3]

Als Folgerung der Konstruktion erhält man eine neue Definition der brownschen Bewegung.

Seien ${\displaystyle \{\xi _{i}\}_{i=1}^{\infty }\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$ und unabhängig, weiter sei ${\displaystyle \{\varphi \}_{i=1}^{\infty }}$ eine Orthonormalbasis in ${\displaystyle L^{2}[0,1]}$. Dann konvergiert

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\xi _{i}\int _{0}^{t}\varphi _{n}(u)\mathrm {d} u,\quad t\in [0,1]}$

gleichmäßig in ${\displaystyle t}$ fast sicher zu einer brownschen Bewegung.^[4]

• Kiyosi Itō und Makiko Nisio: On the convergence of sums of independent Banach space valued random variables. In: Osaka University and Osaka Metropolitan University, Departments of Mathematics (Hrsg.): Osaka Journal of Mathematics. Band 5, Nr. 1, 1968, S. 45 (projecteuclid.org). 
• Michel Ledoux und Michel Talagrand: Probability in Banach Spaces: Isoperimetry and Processes. Hrsg.: Springer. Berlin, Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-20211-7, S. 48, doi:10.1007/978-3-642-20212-4. 

1. ↑ Nobuyuki Ikeda und Setsuo Taniguchi: The Itô–Nisio theorem, quadratic Wiener functionals, and 1-solitons. In: Stochastic Processes and theirpplications. Band 120, Nr. 5, 2010, S. 605–621, doi:10.1016/j.spa.2010.01.009 (sciencedirect.com). 
2. ↑ Kiyosi Itō und Makiko Nisio: On the convergence of sums of independent Banach space valued random variables. In: Osaka University and Osaka Metropolitan University, Departments of Mathematics (Hrsg.): Osaka Journal of Mathematics. Band 5, Nr. 1, 1968, S. 35–48 (projecteuclid.org). 
3. ↑ Kiyosi Itō und Makiko Nisio: On the convergence of sums of independent Banach space valued random variables. In: Osaka University and Osaka Metropolitan University, Departments of Mathematics (Hrsg.): Osaka Journal of Mathematics. Band 5, Nr. 1, 1968, S. 44 (projecteuclid.org). 
4. ↑ Kiyosi Itō und Makiko Nisio: On the convergence of sums of independent Banach space valued random variables. In: Osaka University and Osaka Metropolitan University, Departments of Mathematics (Hrsg.): Osaka Journal of Mathematics. Band 5, Nr. 1, 1968, S. 45 (projecteuclid.org).