Satz von Lester

X3 = Umkreismittelpunkt, X5 = Mittelpunkt des Feuerbachkreises, X13 = erster Fermatpunkt, X14 = zweiter Fermatpunkt.

Der Satz von Lester, benannt nach June Lester, ist eine Aussage der ebenen euklidischen Geometrie, wonach in einem beliebigen, nicht gleichschenkligen Dreieck die beiden Fermat-Punkte, der Mittelpunkt des Feuerbach-Kreises und der Umkreismittelpunkt konzyklisch sind, also auf einem Kreis liegen.

Der Mittelpunkt des genannten Kreises hat die Kimberling-Nummer X(1116) und die baryzentrischen Koordinaten:

( b 2 − c 2 ) ( 2 ( a 2 − b 2 ) ( c 2 − a 2 ) + 3 R 2 ( 2 a 2 − b 2 − c 2 ) − a 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) + a 4 + b 4 + c 4 ) {\displaystyle (b^{2}-c^{2})(2(a^{2}-b^{2})(c^{2}-a^{2})+3R^{2}(2a^{2}-b^{2}-c^{2})-a^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})+a^{4}+b^{4}+c^{4})\,}
( c 2 − a 2 ) ( 2 ( b 2 − c 2 ) ( a 2 − b 2 ) + 3 R 2 ( 2 b 2 − a 2 − c 2 ) − b 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) + a 4 + b 4 + c 4 ) {\displaystyle (c^{2}-a^{2})(2(b^{2}-c^{2})(a^{2}-b^{2})+3R^{2}(2b^{2}-a^{2}-c^{2})-b^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})+a^{4}+b^{4}+c^{4})\,}
( a 2 − b 2 ) ( 2 ( c 2 − a 2 ) ( b 2 − c 2 ) + 3 R 2 ( 2 c 2 − b 2 − a 2 ) − c 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) + a 4 + b 4 + c 4 ) {\displaystyle (a^{2}-b^{2})(2(c^{2}-a^{2})(b^{2}-c^{2})+3R^{2}(2c^{2}-b^{2}-a^{2})-c^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})+a^{4}+b^{4}+c^{4})\,}

Literatur

  • Clark Kimberling, "Lester Circle", Mathematics Teacher, volume 89, number 26, 1996.
  • June A. Lester, "Triangles III: Complex triangle functions", Aequationes Mathematicae, volume 53, pages 4–35, 1997.
  • Michael Trott, "Applying GroebnerBasis to Three Problems in Geometry", Mathematica in Education and Research, volume 6, pages 15–28, 1997.
  • Ron Shail, "A proof of Lester's Theorem", Mathematical Gazette, volume 85, pages 225–232, 2001.
  • John Rigby, "A simple proof of Lester's theorem", Mathematical Gazette, volume 87, pages 444–452, 2003.
  • J.A. Scott, "On the Lester circle and the Archimedean triangle", Mathematical Gazette, volume 89, pages 498–500, 2005.
  • Michael Duff, "A short projective proof of Lester's theorem", Mathematical Gazette, volume 89, pages 505–506, 2005.
  • Stan Dolan, "Man versus Computer", Mathematical Gazette, volume 91, pages 469–480, 2007.
  • The Lester Circle Einzelheiten zur Entdeckung
  • Lester Circle bei MathWorld