Der Schleifenraum ist eine Konstruktion aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie, insbesondere der Homotopietheorie.
Definition
Es sei
ein punktierter topologischer Raum. Es sei
der Raum aller stetigen Funktionen
, versehen mit kompakt-offenen-Topologie. Der Schleifenraum von
ist der Unterraum
![{\displaystyle \Omega (X,x_{0}):=\{w\in C([0,1],X)\,\mid \,w(0)=w(1)=x_{0}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d22ce0badcf83a7dc5e15e5efc1f33a78c5fe42)
mit der Teilraumtopologie.
Die „Punkte“ von
sind also geschlossene Wege
mit Start- und Endpunkt
, sogenannte Schleifen an
. Daraus erklärt sich die Bezeichnung Schleifenraum.
Der Schleifenraum
ist in natürlicher Weise selbst wieder ein punktierter topologischer Raum, als Basispunkt nimmt man die konstante Schleife
für alle
.
Schleifenraum als Funktor
Sind
und
punktierte topologische Räume und ist
eine stetige Abbildung, so ist durch
![{\displaystyle \Omega f:\Omega (X,x_{0})\rightarrow \Omega (Y,y_{0}),w\mapsto f\circ w}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed75db8e3ae34e32f656a625c63d10a93ff3e99c)
eine stetige Abbildung zwischen den Schleifenräumen erklärt. Ist
ein dritter punktierter topologischer Raum und
stetig, so gilt offenbar
.
Auf diese Weise erhält man einen Funktor auf der Kategorie der punktierten topologischen Räume.[1]
Homotopien und Fundamentalgruppe
Eine Homotopie zwischen zwei Schleifen
ist eine stetige Abbildung
, so dass
für alle ![{\displaystyle s\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aff1a54fbbee4a2677039524a5139e952fa86eb9)
für alle ![{\displaystyle s\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aff1a54fbbee4a2677039524a5139e952fa86eb9)
für alle ![{\displaystyle t\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31a5c18739ff04858eecc8fec2f53912c348e0e5)
Das stellt man sich so vor, dass die Schleifen
und
durch die
stetig ineinander „deformiert“ werden. Die letzte der genannten Bedingungen stellt sicher, dass die
ebenfalls Schleifen an
sind. Solche Homotopien, die den Basispunkt des punktierten topologischen Raums festhalten, nennt man genauer punktierte Homotopien.
Homotopie zwischen Schleifen ist eine Äquivalenzrelation, die Menge der Äquivalenzklassen von
wird oft mit
bezeichnet. Die Äquivalenzklasse einer Schleife
wird mit
bezeichnet und Homotopieklasse genannt.
Sind zwei Schleifen
gegeben, so kann daraus eine neue Schleife
gebildet, die zuerst
durchläuft und danach
, genauer
.
Diese Verknüpfung ist mit der Homotopie von Schleifen verträglich, induziert also eine Verknüpfung auf der Menge
der Homotopieklassen:
. Man kann zeigen, dass diese Verknüpfung
zu einer Gruppe macht, die man die Fundamentalgruppe von
nennt[2], neutrales Element ist
, die Homotopieklasse der konstanten Schleife. Der Schleifenraum selbst ist mit der Verknüpfung * keine Gruppe, es ist also notwendig, zu den Homotopieklassen überzugehen.
Beziehung zur Einhängung
Die Einhängung
des punktierten topologischen Raums
ist als Quotientenraum
![{\displaystyle \Sigma (X,x_{0})=(X\times [0,1])/(X\times \{0\}\cup X\times \{1\}\cup \{x_{0}\}\times [0,1])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d3005d71e2f546a57ca25626a70bf87728c9815)
definiert,
sei die Quotientenabbildung, wobei wie üblich das Bild von
als Basispunkt in
genommen wird. Es sei
ein weiterer punktierter topologischer Raum. Zu einer stetigen Abbildung
![{\displaystyle f:\Sigma (X,x_{0})\rightarrow (Y,y_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06956129521473e9c820aa8df1ebbbd444da2c3f)
erhält man eine stetige Abbildung
![{\displaystyle f\circ q:X\times [0,1]\rightarrow Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3bedf548ca125577f3e82453dcbf2210267a21b)
und damit eine stetige Abbildung
.
Da
und
unter
auf den Basispunkt von
abgebildet werden und
Basispunkte erhält, ist
, das heißt
ist tatsächlich ein Element des Schleifenraums
. Wir erhalten somit eine bijektive Abbildung
![{\displaystyle C(\Sigma (X,x_{0}),(Y,y_{0}))\rightarrow C((X,x_{0}),\Omega (Y,y_{0})),\,f\mapsto {\tilde {f}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5180b7bb911d1f384c3bc9525c07a86ec740aae)
in der Kategorie der punktierten topologischen Räume, diese Abbildung ist mit punktierten Homotopien verträglich, induziert daher eine Bijektion zwischen den Mengen der Homotopieklassen. In diesem Sinne sind die Funktoren
und
adjungiert.[3]
Einzelnachweise
- ↑ Tammo tom Dieck: Algebraic Topology, European Mathematical Society (2008), ISBN 978-3-03719-048-7, Abschnitt 4.4: Loop Space
- ↑ Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung, Bibliographisches Institut Mannheim (1978), ISBN 3-411-00121-6, Absatz 7.1, Satz 1
- ↑ Tammo tom Dieck: Algebraic Topology, European Mathematical Society (2008), ISBN 978-3-03719-048-7, Abschnitt 4.4: Loop Space