Tensorprodukt für Von-Neumann-Algebren

In der mathematischen Theorie der Von-Neumann-Algebren kann man ein Tensorprodukt definieren, mit dem man aus zwei Von-Neumann-Algebren eine dritte erhält. Da Von-Neumann-Algebren auf Hilberträumen operieren und dort gewisse Abschlusseigenschaften haben müssen, reicht die Bildung des algebraischen Tensorproduktes nicht aus; man verwendet daher die in diesem Artikel beschriebene Konstruktion.

Es seien ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subset L(H)}$ und ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subset L(K)}$ zwei Von-Neumann-Algebren auf den Hilberträumen ${\displaystyle H}$ und ${\displaystyle K}$. Zwei Operatoren ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ und ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ definieren einen stetigen linearen Operator ${\displaystyle A\otimes B}$ auf dem Hilbertraum-Tensorprodukt ${\displaystyle H\otimes K}$, und es gilt sogar ${\displaystyle \|A\otimes B\|=\|A\|\cdot \|B\|}$ (siehe Artikel Hilbertraum-Tensorprodukt). Die von allen Operatoren der Form ${\displaystyle A\otimes B}$ mit ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ und ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ in ${\displaystyle L(H\otimes K)}$ erzeugte Von-Neumann-Algebra, das heißt der Abschluss der Menge aller endlichen Summen solcher Operatoren bezüglich der schwachen Operatortopologie, heißt das Tensorprodukt aus ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ und wird mit ${\displaystyle {\mathcal {A}}{\overline {\otimes }}{\mathcal {B}}}$ bezeichnet, wobei der Querstrich über dem Tensorproduktzeichen an die Abschlussoperation erinnern soll.^[1][2]

Sind ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subset L(H)}$ und ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subset L(K)}$ zwei Von-Neumann-Algebren, ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ und ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ sowie ${\displaystyle A^{'}}$ und ${\displaystyle B^{'}}$ aus den Kommutanten ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{'}\subset L(H)}$ bzw. ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{'}\subset L(K)}$, so ist klar, dass ${\displaystyle A\otimes B}$ und ${\displaystyle A^{'}\otimes B^{'}}$ in ${\displaystyle L(H\otimes K)}$ vertauschen, denn ${\displaystyle (A\otimes B)(A^{'}\otimes B^{'})=AA^{'}\otimes BB^{'}=A^{'}A\otimes B^{'}B=(A^{'}\otimes B^{'})(A\otimes B)}$. Daraus ergibt sich sofort ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{'}{\overline {\otimes }}{\mathcal {B}}^{'}\subset ({\mathcal {A}}{\overline {\otimes }}{\mathcal {B}})^{'}}$. Der Kommutantensatz sagt aus, dass hier sogar Gleichheit gilt^[3]:

• Sind ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subset L(H)}$ und ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subset L(K)}$ zwei Von-Neumann-Algebren, so gilt ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{'}{\overline {\otimes }}{\mathcal {B}}^{'}=({\mathcal {A}}{\overline {\otimes }}{\mathcal {B}})^{'}}$.

Eine einfache Konsequenz ist ${\displaystyle L(H){\overline {\otimes }}L(K)=L(H\otimes K)}$, was sich aber auch ohne Kommutantensatz leicht beweisen lässt.

Der Kommutantensatz kann auch benutzt werden, um zu zeigen, dass das Zentrum eines Tensorproduktes von Von-Neumann-Algebren gleich dem Tensorprodukt der Zentren ist. Insbesondere ist das Tensorprodukt von Faktoren wieder ein Faktor.^[4]

Haben die Von-Neumann-Algebren ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ einen reinen Typ, so auch deren Tensorprodukt, und der Typ kann folgender Tabelle entnommen werden^[5]:

${\displaystyle {\overline {\otimes }}}$	${\displaystyle I_{n},\,n}$ endlich	${\displaystyle I_{n},\,n}$ unendlich	${\displaystyle \quad \,II_{1}\quad }$	${\displaystyle \quad II_{\infty }\quad }$	${\displaystyle \quad III\quad }$
${\displaystyle I_{m},\,m}$ endlich	${\displaystyle I_{mn}\,}$	${\displaystyle I_{mn}\,}$	${\displaystyle II_{1}\,}$	${\displaystyle II_{\infty }}$	${\displaystyle III\,}$
${\displaystyle I_{m},\,m}$ unendlich	${\displaystyle I_{mn}\,}$	${\displaystyle I_{mn}\,}$	${\displaystyle II_{\infty }}$	${\displaystyle II_{\infty }}$	${\displaystyle III\,}$
${\displaystyle II_{1}}$	${\displaystyle \quad \,II_{1}\quad }$	${\displaystyle II_{\infty }}$	${\displaystyle II_{1}\,}$	${\displaystyle II_{\infty }}$	${\displaystyle III\,}$
${\displaystyle II_{\infty }}$	${\displaystyle \quad II_{\infty }\quad }$	${\displaystyle II_{\infty }}$	${\displaystyle II_{\infty }}$	${\displaystyle II_{\infty }}$	${\displaystyle III\,}$
${\displaystyle III\,}$	${\displaystyle III\,}$	${\displaystyle III\,}$	${\displaystyle III\,}$	${\displaystyle III\,}$	${\displaystyle III\,}$

Im Allgemeinen hat eine Von-Neumann-Algebra keinen reinen Typ, sondern ist nach dem Satz von der Typzerlegung eine endliche direkte Summe von Von-Neumann-Algebren der Typen ${\displaystyle I_{n},II_{1},II_{\infty }}$ bzw. ${\displaystyle III\,}$. Damit kann obige Tabelle zur Typbestimmung der Bestandteile des Tensorproduktes ${\displaystyle {\mathcal {A}}{\overline {\otimes }}{\mathcal {B}}}$ herangezogen werden.

Eine ganz ähnliche Konstruktion führt in der Theorie der C*-Algebren zum sogenannten räumlichen Tensorprodukt.

1. ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, § 11.2: Tensor products of von Neumann algebras
2. ↑ Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland, Amsterdam 1981, ISBN 0-444-86308-7, I.2.4: Tensor products of von Neumann algebras
3. ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Theorem 11.2.16
4. ↑ Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland, Amsterdam 1981, ISBN 0-444-86308-7, I.6.9: Tensor products of von Neumann algebras
5. ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Tabelle 11.1