Die verallgemeinerte Konvexität (englisch generalized convexity) ist eine Verallgemeinerung des gewöhnlichen Konvexitätsbegriff für Funktionen und Mengen, die sich insbesondere bei der Behandlung nicht-konvexer Optimierungsprobleme als nützlich erweist.
Φ-Konvexität
Gegeben sei eine Menge
und die Menge aller Abbildungen von
nach
![{\displaystyle F(X)=\{\varphi \mid \varphi \colon X\to \mathbb {R} \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6bc2c81fb8508b219536b227da9b80959b7fdb6)
Eine Menge
heißt Referenzsystem für
genau dann, wenn gilt:
![{\displaystyle \forall \varphi \in \Phi ,\lambda \geq 0:\lambda \varphi \in \Phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af9c23e7f679fe41c1a8e1f15491fe09d22e0699)
![{\displaystyle \forall \varphi \in \Phi ,c\in \mathbb {R} :\varphi +c\in \Phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93757eb0e2dcf3662a3077515234363ab9a1479e)
Φ-konvexe Funktion
Eine (erweiterte) reellwertige Funktion
heißt
-konvex genau dann, wenn eine Menge
existiert, so dass
![{\displaystyle f(x)=\sup _{\varphi \in \Phi _{0}}\varphi (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/710aac5342349f3427c9f98bb9486f0e7ee92d1f)
gilt.
Φ-konvexe Menge
Eine Menge
heißt
-konvex genau dann, wenn es eine Menge
gibt und zu jedem
ein
existiert, so dass
![{\displaystyle A=\bigcap _{\varphi \in \Phi _{0}}\{x\in X:\varphi (x)\leq a_{\phi }\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84860ea26dc83ed83b473dcd39fdcd2df86accae)
Beispiele
- Nimmt man zum Beispiel als Referenzsystem die affinen Funktionen, also
, dann stimmt die
-Konvexität mit der gewöhnlichen Konvexität überein.
- Die Lipschitz-stetigen Funktionen sind zum Referenzsystem der peak-Funktionen
-konvex.
Siehe auch
- Konvexe Funktion
- Konvexe Menge
- Konvexe Optimierung
Literatur
- Szymon Dolecki, Stanisl Aw Kurcyusz: On
-Convexity in Extremal Problems. In: SIAM Journal on Control and Optimization. Band 16, Nr. 2, 1978, S. 277–300, doi:10.1137/0316018 (aip.org). - Diethard Pallaschke, Rolewicz, S.: Foundations of Mathematical Optimization: Convex Analysis Without Linearity. Kluwer Academic Publishers, 1997, ISBN 0-7923-4424-3.