Wittscher Blockplan

Als Wittsche Blockpläne^[1] (auch Witt-Designs, engl. Witt designs^[2]) werden in der endlichen Geometrie bestimmte Blockpläne bezeichnet, die 1931 von Robert Daniel Carmichael entdeckt^[3] und 1938 von Ernst Witt, nach dem sie auch benannt sind, erneut beschrieben wurden^[4]. Es handelt sich dabei zunächst um zwei 5-Blockpläne, die als kleiner bzw. großer Wittscher Blockplan bezeichnet werden. Beide sind bis auf Isomorphie die einzigen einfachen 5-Blockpläne mit der Punktanzahl 12 (kleiner) bzw. 24 (großer Wittscher Blockplan). Der kleine Wittsche Blockplan ${\displaystyle \mathrm {W} _{12}}$ ist ein ${\displaystyle 5-(12,6,1)}$-Blockplan, als Steinersystem ein ${\displaystyle S(5,6;12)}$; der große ${\displaystyle \mathrm {W} _{24}}$ ist ein ${\displaystyle 5-(24,8,1)}$-Blockplan, als Steinersystem ein ${\displaystyle S(5,8;24)}$.

Die Bedeutung des kleinen und großen Wittschen Blockplans liegt – für die Diskrete Mathematik – darin, dass sie jahrzehntelang die einzigen bekannten, nichttrivialen 5-Blockpläne waren und dadurch sehr ausführlich untersucht sind. In der Gruppentheorie, genauer für die Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen, sind die beiden 5-Blockpläne und ihre Ableitungen ${\displaystyle \mathrm {W} _{11},\mathrm {W} _{23},\mathrm {W} _{22}}$, die häufig auch als Wittsche Blockpläne bezeichnet werden, von großer Bedeutung, da die Mathieu-Gruppen (benannt nach Émile Léonard Mathieu, das sind 5 der sporadischen einfachen Gruppen, ${\displaystyle \mathbb {M} _{12},\mathbb {M} _{11},\mathbb {M} _{24},\mathbb {M} _{23},\mathbb {M} _{22}}$) ihre Automorphismengruppen sind.

Geometrische Konstruktion

Der ${\displaystyle 5-(12,6,1)}$-Blockplan ${\displaystyle \mathrm {W} _{12}=({\mathfrak {q}},{\mathfrak {B}},\in )}$ kann als dreifache Erweiterung der affinen Ebene der Ordnung 3, ${\displaystyle A=AG_{1}(2,3)=({\mathfrak {p}},{\mathfrak {G}},\in )}$ (siehe die Abbildung rechts) konstruiert werden. Man macht sich dabei einige Besonderheiten dieser Ebene zunutze:

• Jedes Viereck ${\displaystyle v}$ in ${\displaystyle A}$ ist ein Fano-Parallelogramm, das heißt, sind ${\displaystyle p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}}$ die vier Ecken eines Vierecks, dann sind zwei Paare von Gegenseiten unter den sechs Seiten ${\displaystyle G_{ij}=p_{i}p_{j};\;(1\leq i<j\leq 4)}$ parallel zueinander und das dritte Paar von Gegenseiten schneidet sich im dadurch eindeutig bestimmten Diagonalpunkt ${\displaystyle d(v)}$, der kein Eckpunkt ist. (Als ${\displaystyle n}$-Eck wird eine Menge von ${\displaystyle n}$ Punkten von ${\displaystyle A}$ dann bezeichnet, wenn keine 3 der Punkte kollinear sind.)
• Die Menge der 54 Vierecke in ${\displaystyle A}$ kann so in drei Klassen ${\displaystyle V_{1},V_{2},V_{3}}$ von je 18 Vierecken zerlegt werden, dass jede dieser Äquivalenzklassen ${\displaystyle V_{j}}$ die folgenden Eigenschaften hat:^[1]

1. Jeder Punkt von ${\displaystyle A}$ ist in genau 8 Vierecken aus ${\displaystyle V_{j}}$ enthalten,
2. je zwei verschiedene Punkte von ${\displaystyle A}$ liegen in genau 3 Vierecken aus ${\displaystyle V_{j}}$,
3. jedes Dreieck von ${\displaystyle A}$ ist in genau einem Viereck aus ${\displaystyle V_{j}}$ enthalten.

Nun werden der Punktmenge drei zusätzliche Punkte ${\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3}\not \in {\mathfrak {p}}}$ hinzugefügt ${\displaystyle \left({\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}\cup \{q_{1},q_{2},q_{3}\}\right)}$ und folgende Typen von Blöcken für die neue Blockmenge ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ definiert:

1. Für jede Gerade G von A seien ${\displaystyle G^{*}=G\cup \{q_{1},q_{2},q_{3}\}}$
2. und ${\displaystyle G^{c}={\mathfrak {p}}\setminus G}$ (dies sind die Punkte eines Parallelenpaars von A) Blöcke von ${\displaystyle \mathrm {W} _{12}}$.
3. Für jedes Viereck v von A mit ${\displaystyle v\in V_{j}}$ seien ${\displaystyle v^{*}=(v\cup \{q_{1},q_{2},q_{3}\})\setminus \{q_{j}\}}$
4. und ${\displaystyle v^{+}=v\cup \{d(v),q_{j}\}}$ Blöcke von ${\displaystyle \mathrm {W} _{12}}$.

Dies ergibt für ${\displaystyle \mathrm {W} _{12}}$ insgesamt 132 Blöcke mit je 6 Punkten: 12 für die erweiterten Geraden (1. Typ), 12 für die Komplemente der Geraden, das sind die Parallelenpaare von A (2. Typ) und je 54 für die erweiterten Vierecke (3. Typ) und die erweiterten Paare von schneidenden Geraden (4. Typ).

Die so definierte Inzidenzstruktur ${\displaystyle \mathrm {W} _{12}=({\mathfrak {q}},{\mathfrak {B}},\in )}$ ist ein ${\displaystyle 5-(12,6,1)}$-Blockplan.^[5]

Der große Wittsche Blockplan ${\displaystyle \mathrm {W} _{24}}$ lässt sich als dreifache Erweiterung der projektiven Ebene ${\displaystyle PG_{1}(2,4)}$ der Ordnung 4 konstruieren.^[6]

• Jeder ${\displaystyle 5-(12,6,1)}$-Blockplan ist zu dem oben konstruierten Blockplan ${\displaystyle \mathrm {W} _{12}}$ isomorph und jeder Automorphismus ${\displaystyle \alpha }$ von ${\displaystyle \mathrm {W} _{9}=AG_{1}(2,3)}$ hat eine eindeutige Fortsetzung zu einem Automorphismus ${\displaystyle {\overline {\alpha }}}$ von ${\displaystyle \mathrm {W} _{12}}$. Diese Fortsetzung ist dadurch bestimmt, dass ${\displaystyle \alpha }$ als Permutation ${\displaystyle \pi \in S_{3}}$ auf der Menge der oben beschriebenen Vierecksklassen ${\displaystyle V_{1},V_{2},V_{3}}$ operiert ${\displaystyle \alpha (V_{i})=V_{\pi (i)},i\in \{1,2,3\}}$, und dann durch ${\displaystyle {\overline {\alpha }}(q_{i})=q_{\pi (i)}}$ fortgesetzt wird. Außerdem ist jeder ${\displaystyle 4-(11,5,1)}$-Blockplan isomorph zu ${\displaystyle \mathrm {W} _{11}=\mathrm {W} _{12,x}}$, der Ableitung des kleinen Wittschen Blockplanes an einem beliebigen Punkt x.^[7]
• Der kleine Witt-Blockplan ${\displaystyle \mathrm {W} _{12}}$ enthält genau 12 Hadamard-${\displaystyle 3-(12,3,2)}$-Unterblockpläne.^[8]
• Jeder ${\displaystyle 5-(24,8,1)}$-Blockplan ist zu dem oben konstruierten Blockplan ${\displaystyle \mathrm {W} _{24}}$ isomorph.
• Jeder ${\displaystyle 4-(23,7,1)}$-Blockplan ist zur Ableitung ${\displaystyle \mathrm {W} _{23}=\mathrm {W} _{24,x}}$, der Ableitung des großen Wittschen Blockplanes an einem beliebigen Punkt x isomorph.^[2]
• Jeder ${\displaystyle 3-(22,6,1)}$-Blockplan ist zur Ableitung ${\displaystyle \mathrm {W} _{22}=\mathrm {W} _{24,x,y}}$, der zweifachen Ableitung des großen Wittschen Blockplanes an zwei beliebigen verschiedenen Punkten x,y isomorph.^[2]

Die Parameter einer endlichen Inzidenzstruktur, die einer Regularitätsbedingung genügen, sind diejenigen der Inzidenzparameter ${\displaystyle b_{i}}$ (durchschnittliche Blockanzahl durch i beliebige Punkte) bzw. ${\displaystyle v_{j}}$ (durchschnittliche Punktzahl auf j beliebigen Blöcken), die bei allen i-elementigen Punktmengen bzw. j-elementigen Blockmengen übereinstimmenden positiven Zahlen gleichen. Beim kleinen und großen Wittschen 5-Blockplan, die beide als Inzidenzstrukturen den Typ (5,1) haben, sind dies die Parameter ${\displaystyle b_{0},b_{1},\ldots b_{5}=1}$ und ${\displaystyle v_{0},v_{1}}$. Nach jeder Ableitung genügt ein Blockparameter weniger seiner Regularitätsbedingung:

Reguläre Inzidenzparameter

Blockplan	Typ als Inzidenzstruktur	b5	b4	b3	b2	b1 (r)	b0 (Gesamtblockzahl)	v2	v1 (k)	v0 (Gesamtpunktzahl)
${\displaystyle \mathrm {W} _{9}\cong AG_{1}(2,3)}$	(2,1)	-	-	-	1	4	12	-	3
${\displaystyle \mathrm {W} _{10}}$	(3,1)	-	-	1	4	12	30	-	4	10
${\displaystyle \mathrm {W} _{11}}$	(4,1)	-	1	4	12	30	66	-	5	11
${\displaystyle \mathrm {W} _{12}}$	(5,1)	1	4	12	30	66	132	-	6	12
${\displaystyle \mathrm {W} _{21}\cong PG_{1}(2,4)}$	(2,2)	-	-	-	1	5	21	1	5	21
${\displaystyle \mathrm {W} _{22}}$	(3,1)	-	-	1	5	21	77	-	6	22
${\displaystyle \mathrm {W} _{23}}$	(4,1)	-	1	5	21	77	253	-	7	23
${\displaystyle \mathrm {W} _{24}}$	(5,1)	1	5	21	77	253	759	-	8	24

Außerdem lässt sich für Teilmengen ${\displaystyle U\subseteq B\in {\mathfrak {B}}}$ eines Blockes B eine nur von der Punktzahl ${\displaystyle u=|U|}$ abhängige Schnittzahl ${\displaystyle n_{u}=n(B,U)=\left|\{Y\in {\mathfrak {B}}|B\cap Y=U\}\right|}$ angeben, falls ${\displaystyle u\leq k}$ ist. Mit anderen Worten ist ${\displaystyle n_{u}}$ die von B und U unabhängige Anzahl von Blöcken, die mit B genau alle Punkte von U gemeinsam haben. Die folgende Tabelle gibt diese Schnittzahlen an:^[2]

Schnittzahlen

Mit Hilfe dieser Schnittzahlen kann man die Eindeutigkeit der Wittschen Blockpläne (bis auf Isomorphie, als Blockpläne mit ihren jeweiligen Parametern) nachweisen.^[2]

Die 5 sporadischen Mathieu-Gruppen ${\displaystyle \mathbb {M} _{11},\mathbb {M} _{12},\mathbb {M} _{22},\mathbb {M} _{23},\mathbb {M} _{24}}$ sind die vollen Automorphismengruppen der Wittschen Blockpläne, wobei der Subskript an der Kurzbezeichnung jeweils dem Subskript des zugehörigen Witt-Blockplanes, also dessen Punktzahl v entspricht. Alle fünf sind einfache Gruppen, d. h. sie haben keine außer den trivialen Normalteilern.^[9] Rein gruppentheoretisch lässt sich der Subskript v der Mathieugruppen auch beschreiben als minimale ganze Zahl ${\displaystyle v}$, so dass ${\displaystyle \mathbb {M} _{v}}$ als Permutationsgruppe auf ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,v\}}$ operiert, mit anderen Worten, ${\displaystyle S_{v}}$ ist die kleinste symmetrische Gruppe, so dass ein Gruppenmonomorphismus ${\displaystyle \mathbb {M} _{v}\rightarrow S_{v}}$ existiert. Der Parameter ${\displaystyle t}$ des Blockplanes, der angibt, für wie viele beliebige Punkte jeweils ein gemeinsamer Block existiert, gibt gruppentheoretisch den maximalen Transitivitätsgrad der zugehörigen Mathieugruppe an, das heißt, die Gruppe operiert als ${\displaystyle t}$-fach, aber nicht ${\displaystyle t+1}$-fach transitive Permutationsgruppe auf den Punkten des entsprechenden Blockplans und kann auf keiner Menge mehr als ${\displaystyle t}$-fach transitiv und treu operieren.

Mathieu-Gruppe	Gruppenordnung	Blockplan	Parameter ${\displaystyle t-(v,k,\lambda )}$	Steiner-Notation
${\displaystyle \mathbb {M} _{11}}$	7920${\displaystyle =2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 11}$	${\displaystyle \mathrm {W} _{11}}$	${\displaystyle 4-(11,5,1)}$	${\displaystyle S(4,5;11)}$
${\displaystyle \mathbb {M} _{12}}$	95040${\displaystyle =2^{6}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 11}$	${\displaystyle \mathrm {W} _{12}}$	${\displaystyle 5-(12,6,1)}$	${\displaystyle S(5,6;12)}$
${\displaystyle \mathbb {M} _{22}}$	443520${\displaystyle =2^{7}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	${\displaystyle \mathrm {W} _{22}}$	${\displaystyle 3-(22,6,1)}$	${\displaystyle S(3,6;22)}$
${\displaystyle \mathbb {M} _{23}}$	10200960${\displaystyle =2^{7}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 23}$	${\displaystyle \mathrm {W} _{23}}$	${\displaystyle 4-(23,7,1)}$	${\displaystyle S(4,7;23)}$
${\displaystyle \mathbb {M} _{24}}$	244823040${\displaystyle =2^{10}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 23}$	${\displaystyle \mathrm {W} _{24}}$	${\displaystyle 5-(24,8,1)}$	${\displaystyle S(5,8;24)}$

Originalartikel

• Thomas Beth, Dieter Jungnickel: Mathieu Groups, Witt Designs and Golay Codes. In: Geometries and Groups (= Lecture Notes in Mathematics). Band 893. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 1981, ISBN 3-540-11166-2, S. 157–179. 
• Robert Daniel Carmichael: Tactical Configurations of Rank Two. In: American Journal of Mathematics. Band 53, 1931, S. 217–240, JSTOR:2370885. 
• Ernst Witt: Die 5-Fach transitiven Gruppen von Mathieu. In: Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. Band 12, 1938, S. 256–264, doi:10.1007/BF02948947. 

Lehrbücher

• Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz: Design Theory. 2. Auflage. B.I. Wissenschaftsverlag, London/New York/New Rochelle/Melbourne/Sidney 1999, ISBN 0-521-33334-2, IV: Witt designs and Mathieu groups. 
• Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie. I. Blockpläne. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01632-9, 2.4: Ein 5-Blockplan. 

• Pegg, Ed. Jr., Eric W. Weisstein: Witt design. In: MathWorld (englisch).
• Eric W. Weisstein: Mathieu Groups. In: MathWorld (englisch).
• Die sporadischen Gruppen (Erzeuger, Untergruppen, Konjugiertenklassen …) im Atlas of Finite Group Representations (englisch)

1. ↑ ^{a b} Beutelspacher (1982)
2. ↑ ^{a b c d e} Beth, Jungnickel, Lenz (1999)
3. ↑ Carmichael (1931)
4. ↑ Witt (1938)
5. ↑ Beutelspacher (1982), Hauptsatz 2.4.6
6. ↑ Eine Skizze dieser Konstruktion, die auf Witt(1938) zurückgeht, findet sich in Beth, Jungnickel, Lenz (1999), IV.6.4: Construction
7. ↑ Beth, Jungnickel, Lenz (1999), Corollary IV.2.6
8. ↑ Beth, Jungnickel, Lenz (1999), Lemma IV.4.11
9. ↑ Beth, Jungnickel, Lenz (1999), Theorem IV.5.12