Zentralsymmetrische Matrix
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Eine zentralsymmetrische Matrix ist in der Mathematik eine quadratische Matrix, die punktsymmetrisch bezüglich ihres Mittelpunkts ist. Zentralsymmetrische Matrizen treten unter anderem bei der numerischen Lösung bestimmter Differentialgleichungen und bei der Untersuchung von Markow-Prozessen auf.
Definition
Eine quadratische Matrix über einem Körper heißt zentralsymmetrisch, wenn für ihre Einträge
für gilt.[1] Die Einträge einer zentralsymmetrischen Matrix verändern sich demnach nicht, wenn sie am Mittelpunkt der Matrix gespiegelt werden.
Beispiele
Zentralsymmetrische Matrizen der Größe haben die allgemeine Form
und diejenigen der Größe die Form
mit .
Eigenschaften
Symmetrien
Mit der Permutationsmatrix definiert durch
lassen sich zentralsymmetrische Matrizen auch kompakt durch die Bedingung
charakterisieren. Eine zentralsymmetrische Matrix, die zudem symmetrisch oder persymmetrisch ist, wird bisymmetrische Matrix genannt. Bisymmetrische Matrizen sind sowohl bezüglich ihrer Hauptdiagonale, als auch bezüglich ihrer Gegendiagonale symmetrisch.
Blockstruktur
Zentralsymmetrische Matrizen mit gerader Anzahl von Zeilen und Spalten besitzen eine spezielle Blockstruktur der Form
- ,
wobei sind. Zentralsymmetrische Matrizen mit ungerader Anzahl von Zeilen und Spalten haben die Struktur
- ,
wobei , , und sind.[2]
Eigenwerte
Die Eigenwerte einer zentralsymmetrischen Matrix mit einer geraden Anzahl von Zeilen und Spalten sind dann gegeben als die Eigenwerte der Matrizen
- und .
Die jeweils zugehörigen Eigenvektoren haben dann die Form
- und ,
wobei ein Eigenvektor von und ein Eigenvektor von ist. Bei zentralsymmetrischen Matrizen mit einer ungeraden Anzahl von Zeilen und Spalten sind die Eigenwerte gegeben als die Eigenwerte der Matrizen
- und .
Die jeweils zugehörigen Eigenvektoren haben dann die Form
- und ,
wobei ein Eigenvektor von und ein Eigenvektor von ist.[3]
Summe und Produkt
Die Summe zweier zentralsymmetrischer Matrizen und ergibt wieder eine zentralsymmetrische Matrix, ebenso sind auch skalare Vielfache mit . Nachdem die Nullmatrix trivialerweise zentralsymmetrisch ist, bilden die zentralsymmetrischen Matrizen einen Untervektorraum im Matrizenraum .
Das Produkt zweier zentralsymmetrischer Matrizen ergibt ebenfalls wieder eine zentralsymmetrische Matrix, denn es gilt
- .
Nachdem die Einheitsmatrix ebenfalls zentralsymmetrisch ist, bilden die zentralsymmetrischen Matrizen eine Unteralgebra der assoziativen Algebra der quadratischen Matrizen.
Inverse
Die Inverse einer regulären zentralsymmetrischen Matrix ist wiederum zentralsymmetrisch, denn es gilt
- .
Die regulären zentralsymmetrischen Matrizen bilden somit eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe .[2]
Anwendungen
Zentralsymmetrische Matrizen treten beispielsweise bei der numerischen Lösung bestimmter Differentialgleichungen und Eigenwertprobleme,[4] bei der Untersuchung von Markow-Prozessen[5] und in einer Reihe physikalischer Problemstellungen[6] auf.
Siehe auch
Literatur
- Roger A. Horn, Charles R. Johnson: Matrix Analysis. Cambridge University Press, 2012, ISBN 978-0-521-83940-2.
Einzelnachweise
- ↑ Thomas Muir: A Treatise on the Theory of Determinants. Dover, New York 1960, S. 19.
- ↑ a b Roger A. Horn, Charles Johnson: Matrix analysis. Cambridge University Press, 2013, S. 36.
- ↑ Iyad T. Abu-Jeib: Centrosymmetric Matrices: Properties and an Alternative Approach. In: Canadian Applied Mathematics Quarterly. Band 10, Nr. 4, 2002, S. 431.
- ↑ Alan L. Andrew: Eigenvectors of certain matrices. In: Linear Algebra and Applications. Nr. 7, 1973, S. 157–162.
- ↑ James R. Weaver: Centrosymmetric (cross-symmetric) matrices, their basic properties, eigenvalues, and eigenvectors. In: American Mathematical Monthly. Nr. 92, 1985, S. 711–717.
- ↑ Lokesh Datta, Salvatore D. Morgera: On the reducibility of centrosymmetric matrices—applications in engineering problems. In: Circuits Systems and Signal Processing. Nr. 8, 1989, S. 71–96.
Weblinks
- Eric W. Weisstein: Centrosymmetric Matrix. In: MathWorld (englisch).