Endomorfismo

Endomorfismo^[1] bat eremu eta koeremu bera dituen aplikazio lineal bat da. V espazio bektorial baten endomorfismo taldea (${\displaystyle End(V)}$), V-tik V-ra doazen aplikazio linealek osatzen dute:

${\displaystyle f\in End(V)\Leftrightarrow \forall v\in V:(\exists f(v)\Rightarrow f(v)\in V)}$

• Definizioz, alderantzizko funtzioa duten V-ko endomorfismoek, ${\displaystyle GL(V)}$ multzoa osatzen dute: ${\displaystyle GL(V)=\{f\in End(v):\exists g\in End(V):f\circ g(v)=g\circ f(v)=v,\forall v\in V\}}$

• ${\displaystyle f\in End(V)}$ alderanzgarria da baldin eta soilik baldin bere matrize elkartua (${\displaystyle \beta -tik}$ ${\displaystyle \beta -ra}$)^[2] alderanzgarria bada
• Hartu V K gorputzaren gainean dagoela definituta. ${\displaystyle \lambda \in K}$, ${\displaystyle f}$-ren balio propioa da baldin eta soilik baldin ${\displaystyle \exists v\neq 0\in V:f(v)=\lambda v}$

Edozein aplikazio linealek matrize elkartuak dauzka bere baitan, eremuko oinarri bat eta koeremuko bat erlazionatzen dituena. Endomorfismoen kasuan, ${\displaystyle \beta \longrightarrow \beta }$ motako elkartutako matrizeak erabili daitezke funtzioa definitzeko. Honek bisualki asko lagundu dezake. Adibidez, gure funtzioari lotutako matrizea identitate matrizea^[3] bada, badakigu funtzioa konstantea dela. Lehen aipatutako propietatean sakonduz, ${\displaystyle GL(V)}$-ko funtzioei elkartutako matrizeek ${\displaystyle GLn(V)}$ taldea osatzen dute, hau da, V espazioaren dimentsioa duten matrize alderanzgarrien taldea^[4].

V K gorputzaren gainean definituta egonik, ${\displaystyle \lambda \in K}$, ${\displaystyle f}$-ren balio propioa da baldin eta soilik baldin ${\displaystyle \exists v\neq 0\in V:f(v)=\lambda v}$.

Adibidez: ${\displaystyle f\in End(R^{3}):f(x,y,z)=(2x,x+y-z,2z)}$: Ohartu ${\displaystyle f(1,0,1)=(2,0,2)=2(1,0,1)}$ delataz^[5].

Gainera, ${\displaystyle f(0,1,0)=(0,1,0)=1(0,1,0)}$, beraz ${\displaystyle \lambda =2}$ eta ${\displaystyle \lambda =1}$ funtzioaren balio propiak dira, eta ${\displaystyle (1,0,1),(0,1,0)}$ haiei lotutako bektoreak, hurrenez hurren.

Hau jakinda, azpiespazio ezberdinak defini ditzakegu, ${\displaystyle \lambda }$ balioari dagokion f-ren azpiespazio propioak deritzonak:

${\displaystyle V(\lambda )=\{v\in V:f(v)=\lambda v\}}$.

Ohartu gure eremu eta koeremua V direnez, ${\displaystyle V(\lambda )\leq V,}$ edozein balio propiorako. Hain zuzen: (1 = V gaineko funtzio konstantea)

${\displaystyle V(\lambda )=\{v\in V:f(v)=\lambda v\}=\{v\in V:f(v)-\lambda v=0\}=\{v\in V:(f-\lambda 1)(v)=0\}=ker(f-\lambda 1)}$ eta

${\displaystyle (f-\lambda 1)}$ V-ren gaineko endomorfismo bat denez, ${\displaystyle V(\lambda )\leq V}$.

Hartzen badugu ${\displaystyle A={\underset {\beta }{M}}(f)}$ (beta bidezko f-ri elkartutako matrizea), eta ${\displaystyle dim(V)=n}$:

${\displaystyle {\underset {\beta }{M}}(f-\lambda 1)={\underset {\beta }{M}}(f)-{\underset {\beta }{M}}(\lambda 1)={\underset {\beta }{M}}(f)-\lambda {\underset {\beta }{M}}(1)=A-\lambda In}$.

Hemendik erraz lortu dezakegun edozein azpiespazio propioren dimentsioa:

${\displaystyle dim(V(\lambda ))=dim(ker(f-\lambda 1))=n-dim(Im(f-\lambda 1))=n-rg(A-\lambda In)}$

Matrize ororekin polinomio karakteristikoa izena duen polinomio bat dago lotuta. Polinomio hori sortzeko arrazonamendu bat dago:

Lehenik, konturatu behar gara edozein ${\displaystyle \lambda }$ izanik gure ${\displaystyle A={\underset {\beta }{M}}(f)}$ matrizearen balio propioa dela baldin eta soilik baldin hau betetzen bada:

${\displaystyle \exists X\in {\underset {nx1}{M}}(K):AX=\lambda X\Leftrightarrow 0=\lambda X-AX=(\lambda In-A)X:X\neq 0\Leftrightarrow BX=0:B=\lambda InX}$ sistemak soluzio ez nulurik badu ${\displaystyle \Leftrightarrow detB=0\Leftrightarrow det(\lambda In-A)=0}$,

Orduan, expresio horri polinomio karakteristikoa deituko diogu. ${\displaystyle {\underset {A}{\mathrm {X} }}(x)=det(xIn-A)}$ eta ${\displaystyle \lambda }$ polinomio horren erroa bada, orduan A-ren balio propioa da, eta ondorioz endomorfismoarena ere.

• Datuak: Q1340800