Gurutzatzen diren zuzenak

Geometrian, gurutzatzen diren zuzenak dira paraleloak ez direnak eta espazioan ebakitzen ez direnak. Hau da, planokideak ez dira, zeren zuzen planokideak ebakitzen edo paraleloak baitira. Gurutzatzen diren lerro zuzenen adibide bakuna tetraedro erregular baten kontrako ertzetan zehar dauden lerro zuzenen bikotea da.

Gurutzatzen diren zuzenen arteko distantzia

Gurutzatzen diren bi lerro zuzenen arteko distantzia honela definitzen da: baten puntuen eta bestearen puntuen arteko gutxieneko distantzia da. Jakina da gutxieneko hori gertatzen dela bi puntuak bi zuzenekiko elkarzutean direnean.

$E\,$ espazio afin euklidearreko gurutzatzen diren bi zuzenen arteko distantziaren formula hau da:

d(g,h)=|(a-b)\cdot {\frac {{\vec {v}}\times {\vec {w}}}{|{\vec {v}}\times {\vec {w}}|}}|.

non $a+r{\vec {v}}$ eta $b+s{\vec {w}}$ bi lerro zuzenak diren.

Froga

g eta h bi zuzen emanda, ekuazio parametriko hauek dituztenak:

g:{\vec {x}}=a+r{\vec {v}}

h:{\vec {x}}=b+s{\vec {w}}\ \ \,r,s\in \mathbb {R}

non $r,s\in \mathbb {R}$ , ${\vec {v}}$ eta ${\vec {w}}$ bektore zuzentzaileak diren, eta $a,b\in E$

$a-b,{\vec {v}},{\vec {w}}$ hiru bektoreak linealki independenteak dira.

${\vec {n}}$ bektore normala, ${\vec {v}}$ eta ${\vec {w}}$ bi bektoreekiko elkarzuta dena, haien biderketa bektorialaren bidez kalkula daiteke:

{\vec {n}}={\vec {v}}\times {\vec {w}}

eta bektore unitario bihurtu:

{\vec {n}}_{0}={\frac {{\vec {v}}\times {\vec {w}}}{|{\vec {v}}\times {\vec {w}}|}}

Orduan, bi zuzenen arteko distantzia bi zuzen horietan muturrak kokatuta dituen edozein segmentuaren aipatutako bektoren normal horren gaineko proiekzioa da. Bereziki, A eta B puntuak erabil ditzakegu: