−1 (luku)
−1 on matematiikassa negatiivinen kokonaisluku, joka on suurempi kuin −2 ja pienempi kuin 0. Se on siis suurin negatiivinen kokonaisluku.
Luku −1 on luvun 1 vastaluku, jolloin .
Luku −1 saadaan myös Eulerin yhtälöstä, kun : .
Algebrallisia ominaisuuksia
Kun jokin luku kerrotaan −1:llä, luvun etumerkki vaihtuu:
Toisin sanoen luku muuttuu vastaluvukseen, kun se kerrotaan luvulla −1.
Kun luku −1 kerrotaan itsellään saadaan 1: . Tämä on toinen tapa sanoa, että luku 1 on luvun −1 vastaluku.
Kokonaislukupotenssit
Kun luku −1 korotetaan parilliseen kokonaislukupotenssiin saadaan arvo 1: . Korotettaessa lukua parittomaan kokonaislukupotenssiin saadaan arvo −1: .
On määritelty, että x−1 = 1/x, mikä tarkoittaa sitä, että luvun korottaminen potenssiin −1 on sama kuin luvun muuttaminen käänteisluvukseen. Luku –1 on itsensä käänteisluku:
Murtopotenssit: yhteys kompleksilukuihin
Kompleksilukujen teoriassa imaginaariyksikkö i on määritelty luvun −1 avulla:
- .[1]
Toisin sanoen, vaikka luvulla -1 ei ole neliöjuurta reaalilukujen joukossa, sille voidaan määritellä neliöjuuri . Tämä johtaa kuntalaajennokseen: reaaliluvuista kompleksilukuihin.
Luku −1 liittyy Eulerin identiteettiin, sillä Identiteetistä seuraa, että reaalilukupotenssiin korotus tuottaa yleisesti kompleksiluvun (jonka itseisarvo on 1):
Esimerkiksi jos taskulaskimessa ei ole kompleksilukumoodia, niin laskutoimitus ei onnistu.
Esimerkki käytöstä
Luvun −1 avulla voidaan mallintaa esim. jaksollista binääristä lukujonoa b(n), n = 0, 1, 2, …
Jono 0 1 0 1 0 1 ... saadaan aikaan mallilla
Tilanmuutosten taajuutta voidaan säätää jakamalla indeksi n ja ottamalla lopputuloksesta kokonaislukuosa lattia-funktiolla. Esim. jono 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1… saadaan mallilla
Jonon vaiheeseen voidaan vaikuttaa sijoittamalla indeksin n paikalle suurennettu tai pienennetty arvo, esimerkiksi
tuottaa jonon 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0…
Lähteet
- ↑ Simo K. Kivelä: Kompleksiluvut matta.hut.fi. 23.10.2012. Viitattu 27.7.2017.