Carathéodoryn konstruktio

Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan.

Carathéodoryn konstruktio on tapa luoda metrisiin avaruuksiin Borel-mittoja eräänlaisten esimittojen avulla. Menetelmän kehitti kreikkalainen matemaatikko Constantin Carathéodory vuonna 1914.

Olkoon ${\displaystyle (X,d)}$ metrinen avaruus. Olkoon ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ kokoelma ${\displaystyle X}$:n osajoukkoja ja kuvaus ${\displaystyle \zeta :{\mathcal {F}}\rightarrow [0,\infty ]}$ (ns. esimitta). Näiltä oletetaan seuraavat kaksi ehtoa:

(1) Jokaiselle ${\displaystyle \delta >0}$ on olemassa joukot ${\displaystyle E_{i}\in {\mathcal {F}}}$, ${\displaystyle i\in I}$, I on numeroituva siten, että

${\displaystyle X=\bigcup _{i\in I}E_{i}}$ ja ${\displaystyle d(E_{i})\leq \delta }$.

(2) Jokaiselle ${\displaystyle \delta >0}$ on olemassa joukko ${\displaystyle E\in {\mathcal {F}}}$ siten, että

${\displaystyle \zeta (E)\leq \delta }$ ja ${\displaystyle d(E)\leq \delta }$.

Olkoon nyt ${\displaystyle \delta >0}$ kiinteä. Määritellään, että joukon ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle \delta }$-peite on mikä tahansa numeroituva osakokoelma ${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset {\mathcal {F}}}$, jolla on seuraavat ominaisuudet:

- kokoelma ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ on joukon A peite, eli pätee ${\displaystyle A\subset \cup {\mathcal {E}}}$,

- läpimitta ${\displaystyle d(E)\leq \delta }$ jokaisella ${\displaystyle E\in {\mathcal {E}}}$.

Määritellään nyt funktio ${\displaystyle \psi _{\delta }:{\mathcal {P}}(X)\rightarrow [0,\infty ],}$

${\displaystyle \psi _{\delta }(A)=\inf\{\sum _{E\in {\mathcal {E}}}\zeta (E):{\mathcal {E}}{\mbox{ on }}A{\mbox{:n }}\delta {\mbox{-peite}}\}}$.

Edellä annettu ehto (1) takaa ${\displaystyle \delta }$-peitteen olemassaolon myös joukolle X, joten kuvaus ${\displaystyle \psi _{\delta }}$ on hyvinmääritelty funktio. Voidaan osoittaa, että funktio ${\displaystyle \psi _{\delta }}$ on ulkomitta X:ssä. Nimittäin edellä annettu ehto (2) takaa sen, että ${\displaystyle \psi _{\delta }(\emptyset )=0}$ ja muiden ehtojen todistaminen käy konstruktion vuoksi hyvin samalla tavalla kuin Lebesguen ulkomitan osoittaminen ulkomitaksi.

Huomataan, että jos ${\displaystyle 0<\delta _{1}\leq \delta _{2}}$, niin ${\displaystyle \psi _{\delta _{2}}(A)\leq \psi _{\delta _{1}}(A)}$ kaikilla ${\displaystyle A\subset X}$. Toisin sanoen kuvaus ${\displaystyle \delta \mapsto \psi _{\delta }(A)}$ on kasvava ${\displaystyle \delta }$:aa pienennettäessä. Näin ollen kaikilla ${\displaystyle A\subset X}$ on olemassa raja-arvo ${\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0}\psi _{\delta }(A)}$. Määrittelemmekin nyt siis funktion ${\displaystyle \psi :{\mathcal {P}}(X)\rightarrow [0,\infty ],}$

${\displaystyle \psi (A)=\lim _{\delta \rightarrow 0}\psi _{\delta }(A)}$.

Koska funktiot ${\displaystyle \psi _{\delta }}$ ovat ulkomittoja X:ssä, niin voidaan helposti osoittaa, että funktio ${\displaystyle \psi }$ on ulkomitta X:ssä. Mittateoriassa osoitetaan, että funktio ${\displaystyle \psi }$ rajoitettuna ${\displaystyle \psi }$-mitallisiin joukkoihin on Borel-mitta. Lisäksi jos kaikki joukkokokoelman ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ jäsenet ovat Borel-joukkoja, niin voidaan osoittaa, että ${\displaystyle \psi }$ on itse asiassa Borel-säännöllinen.

Carathéodoryn konstruktio tuottaa esimerkiksi Hausdorffin ulkomitan. Jos valitsemme määritelmässä joukkoperheeksi ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ kaikkien X:n osajoukkojen muodostaman kokoelman ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ja asetamme funktion ${\displaystyle \zeta }$ kaavaksi ${\displaystyle \zeta (E)=d(E)^{s}}$, ${\displaystyle 0\leq s<\infty }$, niin saatu funktio ${\displaystyle \psi _{\delta }={\mathcal {H}}_{\delta }^{s}}$ ja siis ${\displaystyle \psi ={\mathcal {H}}^{s}}$.

Lisäksi voimme saada Carathéodoryn konstruktiolla ns. integraaligeometriset mitat avaruuteen ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Olkoon ${\displaystyle m}$ luonnollinen luku, jolla ${\displaystyle 0<m<n}$. Asetetaan kokoelmaksi ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$:n Borelin perhe ${\displaystyle \operatorname {Bor} \,\mathbb {R} ^{n}}$. Määritellään parametrille ${\displaystyle t\in [1,\infty ]}$ esimitta ${\displaystyle \zeta _{t}^{m}:\operatorname {Bor} \,\mathbb {R} ^{n}\rightarrow [0,\infty ]}$,

${\displaystyle \zeta _{t}^{m}(E)={\left(\int _{G(n,m)}{\mathcal {H}}^{m}{(P_{V}E)}^{t}\,{\mbox{d}}\gamma _{n,m}V\right)}^{1/t}\,{\mbox{ jos }}1\leq t<\infty }$

ja

${\displaystyle \zeta _{\infty }^{m}(E)={\mbox{ess sup}}\{{\mathcal {H}}^{m}(P_{V}E):V\in G(n,m)\}}$,

missä

${\displaystyle G(n,m)=\{V\subset \mathbb {R} ^{n}:V{\mbox{ on lineaarinen aliavaruus, }}{\mbox{dim}}\,V=m\}}$ (ns. Grassmannin avaruus)

ja jokaiselle ${\displaystyle V\in G(n,m)}$ kuvaus ${\displaystyle P_{V}}$ on ortogonaalinen projektio aliavaruudelle ${\displaystyle V}$. Annetuissa integraaleissa integroidaan yli Grassmannin avaruuden ${\displaystyle G(n,m)}$ varustettuna rotaatioinvariantilla mitalla ${\displaystyle \gamma _{n,m}}$.

Näillä esimitoilla ${\displaystyle \zeta _{t}^{m}}$ saatuja Borelin mittoja ${\displaystyle \psi }$, joita merkitään symboleilla ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{t}^{m}}$, kutsutaan (m-ulotteisiksi) integraaligeometrisiksi mitoiksi parametrilla t.