| Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan. |
Carathéodoryn konstruktio on tapa luoda metrisiin avaruuksiin Borel-mittoja eräänlaisten esimittojen avulla. Menetelmän kehitti kreikkalainen matemaatikko Constantin Carathéodory vuonna 1914.
Määritelmä
Olkoon
metrinen avaruus. Olkoon
kokoelma
:n osajoukkoja ja kuvaus
(ns. esimitta). Näiltä oletetaan seuraavat kaksi ehtoa:
(1) Jokaiselle
on olemassa joukot
,
, I on numeroituva siten, että
ja
. (2) Jokaiselle
on olemassa joukko
siten, että
ja
. Olkoon nyt
kiinteä. Määritellään, että joukon
-peite on mikä tahansa numeroituva osakokoelma
, jolla on seuraavat ominaisuudet:
- kokoelma
on joukon A peite, eli pätee
,
- läpimitta
jokaisella
.
Määritellään nyt funktio
. Edellä annettu ehto (1) takaa
-peitteen olemassaolon myös joukolle X, joten kuvaus
on hyvinmääritelty funktio. Voidaan osoittaa, että funktio
on ulkomitta X:ssä. Nimittäin edellä annettu ehto (2) takaa sen, että
ja muiden ehtojen todistaminen käy konstruktion vuoksi hyvin samalla tavalla kuin Lebesguen ulkomitan osoittaminen ulkomitaksi.
Huomataan, että jos
, niin
kaikilla
. Toisin sanoen kuvaus
on kasvava
:aa pienennettäessä. Näin ollen kaikilla
on olemassa raja-arvo
. Määrittelemmekin nyt siis funktion
. Koska funktiot
ovat ulkomittoja X:ssä, niin voidaan helposti osoittaa, että funktio
on ulkomitta X:ssä. Mittateoriassa osoitetaan, että funktio
rajoitettuna
-mitallisiin joukkoihin on Borel-mitta. Lisäksi jos kaikki joukkokokoelman
jäsenet ovat Borel-joukkoja, niin voidaan osoittaa, että
on itse asiassa Borel-säännöllinen.
Sovelluksia
Carathéodoryn konstruktio tuottaa esimerkiksi Hausdorffin ulkomitan. Jos valitsemme määritelmässä joukkoperheeksi
kaikkien X:n osajoukkojen muodostaman kokoelman
ja asetamme funktion
kaavaksi
,
, niin saatu funktio
ja siis
.
Lisäksi voimme saada Carathéodoryn konstruktiolla ns. integraaligeometriset mitat avaruuteen
. Olkoon
luonnollinen luku, jolla
. Asetetaan kokoelmaksi
:n Borelin perhe
. Määritellään parametrille
esimitta
,
ja
, missä
(ns. Grassmannin avaruus) ja jokaiselle
kuvaus
on ortogonaalinen projektio aliavaruudelle
. Annetuissa integraaleissa integroidaan yli Grassmannin avaruuden
varustettuna rotaatioinvariantilla mitalla
.
Näillä esimitoilla
saatuja Borelin mittoja
, joita merkitään symboleilla
, kutsutaan (m-ulotteisiksi) integraaligeometrisiksi mitoiksi parametrilla t.