Cassinin käyrä
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/eb/Line_of_Cassini.svg/500px-Line_of_Cassini.svg.png)
Cassinin käyrä on tasokäyrä, niiden pisteiden ura, joiden etäisyyksien tulo kahdesta kiinteästä pisteestä lukien on tietty vakio.[1] Määritelmä muistuttaa ellipsin määritelmää, jossa kuitenkin näiden etäisyyksien summa on vakio, ei tulo. Cassinin käyrä on saanut nimensä tähtitieteilijä Giovanni Domenico Cassinin mukaan[1], joka tutki tällaisia käyriä vuonna 1680[2].
Muodollinen määritelmä
Olkoot q1 ja q2 kaksi kiinteää pistettä tasossa ja b jokin vakio. Tällöin Cassinin käyrä, jonka polttopisteet ovat q1 ja q2, määritellään niiden pisteiden p uraksi, joiden etäisyyksien tulo pisteistä q1 ja q2 on b2. Jos siis funktio dist(x,y) määritellään pisteiden x ja y väliseksi etäisyydeksi, kaikki Cassinin käyrän pisteet toteuttavat yhtälön
Käyrän yhtälö
Yksinkertaisimmassa tapauksessa Cassinin käyrän molemmat polttopisteet ovat suorakulmaisen koordinaatiston x-akselilla samalla etäisyydellä origosta. Jos tämä etäisyys on a, nämä pisteet ovat (a, 0) ja (-a, 0). Tällöin käyrän yhtälö on
Tämä voidaan sieventää muotoon
Cassinin käyrä on siis neljännen asteen käyrä.
Napakoordinaatistossa yhtälö on
Käyrän muoto
Käyrän muoto riippuu suhteesta e=b/a. Kaikki Cassinin käyrät, joilla tämä suhde on yhtä suuri, ovat yhdenmuotoisia.
Jos e on suurempi kuin 1, käyrä on yksiosainen silmukka, joka sulkee sisäänsä molemmat polttopisteet. Käyrä on lisäksi kupera, jos e on suurempi kuin ; muussa tapauksessa sen sisään jäävä alue on keskeltä kapeampi kuin polttopisteiden kohdalla.[3].
Jos e on pienempi kuin 1, käyrä muodostuu kahdesta erillisestä silmukasta, joista kumpikin sulkee sisäänsä yhden polttopisteen. Jos e=1 eli b=a, käyrä leikkaa itsensä origossa. Tämä Cassinin käyrän erikoistapaus tunnetaan myös Bernoullin lemniskaattana, ja sen yhtälö yksinkertaistuu muotoon
- .
Rajatapauksessa, kun a → 0 (ja e → ), käyrä lähestyy muodoltaan ympyrää
eli yksinkertaisemmin
Lähteet
- J. Dennis Lawrence: A catalog of special plane curves, s. 5,153–155. Dover Publications, 1972. ISBN 0-486-60288-5.
- A.B. Basset: An Elementary Treatise on Cubic and Quartic Curves, s. 162 seur.. Lontoo: Deighton Bell and Co., 1901.
- Lawden, D. F., "Families of ovals and their orthogonal trajectories", Mathematical Gazette 83, November 1999, 410-420.
Viitteet
Aiheesta muualla
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png)
- MacTutor description (Arkistoitu – Internet Archive)
- 2Dcurves.com description
- "Ovale de Cassini", Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (ranska)