Cassinin käyrä

Joitakin Cassinin käyriä. (b=0.6a, 0.8a, a, 1.2a, 1.4a, 1.6a)

Cassinin käyrä on tasokäyrä, niiden pisteiden ura, joiden etäisyyksien tulo kahdesta kiinteästä pisteestä lukien on tietty vakio.[1] Määritelmä muistuttaa ellipsin määritelmää, jossa kuitenkin näiden etäisyyksien summa on vakio, ei tulo. Cassinin käyrä on saanut nimensä tähtitieteilijä Giovanni Domenico Cassinin mukaan[1], joka tutki tällaisia käyriä vuonna 1680[2].

Muodollinen määritelmä

Olkoot q1 ja q2 kaksi kiinteää pistettä tasossa ja b jokin vakio. Tällöin Cassinin käyrä, jonka polttopisteet ovat q1 ja q2, määritellään niiden pisteiden p uraksi, joiden etäisyyksien tulo pisteistä q1 ja q2 on b2. Jos siis funktio dist(x,y) määritellään pisteiden x ja y väliseksi etäisyydeksi, kaikki Cassinin käyrän pisteet toteuttavat yhtälön

dist ⁡ ( q 1 , p ) × dist ⁡ ( q 2 , p ) = b 2 . {\displaystyle \operatorname {dist} (q_{1},p)\times \operatorname {dist} (q_{2},p)=b^{2}.\,}

Käyrän yhtälö

Yksinkertaisimmassa tapauksessa Cassinin käyrän molemmat polttopisteet ovat suorakulmaisen koordinaatiston x-akselilla samalla etäisyydellä origosta. Jos tämä etäisyys on a, nämä pisteet ovat (a, 0) ja (-a, 0). Tällöin käyrän yhtälö on

( ( x − a ) 2 + y 2 ) ( ( x + a ) 2 + y 2 ) = b 4 . {\displaystyle ((x-a)^{2}+y^{2})((x+a)^{2}+y^{2})=b^{4}.\,}

Tämä voidaan sieventää muotoon

( x 2 + y 2 ) 2 − 2 a 2 ( x 2 − y 2 ) + a 4 = b 4 . {\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2})+a^{4}=b^{4}.\,}

Cassinin käyrä on siis neljännen asteen käyrä.

Napakoordinaatistossa yhtälö on

r 4 − 2 a 2 r 2 cos ⁡ 2 θ = b 4 − a 4 . {\displaystyle r^{4}-2a^{2}r^{2}\cos 2\theta =b^{4}-a^{4}.\,}

Käyrän muoto

Käyrän muoto riippuu suhteesta e=b/a. Kaikki Cassinin käyrät, joilla tämä suhde on yhtä suuri, ovat yhdenmuotoisia.

Jos e on suurempi kuin 1, käyrä on yksiosainen silmukka, joka sulkee sisäänsä molemmat polttopisteet. Käyrä on lisäksi kupera, jos e on suurempi kuin 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ; muussa tapauksessa sen sisään jäävä alue on keskeltä kapeampi kuin polttopisteiden kohdalla.[3].

Jos e on pienempi kuin 1, käyrä muodostuu kahdesta erillisestä silmukasta, joista kumpikin sulkee sisäänsä yhden polttopisteen. Jos e=1 eli b=a, käyrä leikkaa itsensä origossa. Tämä Cassinin käyrän erikoistapaus tunnetaan myös Bernoullin lemniskaattana, ja sen yhtälö yksinkertaistuu muotoon

( x 2 + y 2 ) 2 − 2 a 2 ( x 2 − y 2 ) = 0 {\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2})=0} .

Rajatapauksessa, kun a → 0 (ja e → ∞ {\displaystyle \infty } ), käyrä lähestyy muodoltaan ympyrää

( x 2 + y 2 ) 2 = b 4 {\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=b^{4}}

eli yksinkertaisemmin

( x 2 + y 2 ) = b 2 . {\displaystyle (x^{2}+y^{2})=b^{2}.\,}


Lähteet

  • J. Dennis Lawrence: A catalog of special plane curves, s. 5,153–155. Dover Publications, 1972. ISBN 0-486-60288-5.
  • A.B. Basset: An Elementary Treatise on Cubic and Quartic Curves, s. 162 seur.. Lontoo: Deighton Bell and Co., 1901.
  • Lawden, D. F., "Families of ovals and their orthogonal trajectories", Mathematical Gazette 83, November 1999, 410-420.

Viitteet

  1. ↑ a b Otavan iso Fokus, 1. osa (A-El), s. 458, art. Cassini, Giovanni Domenico. Otava, 1973. ISBN 951-1-00273-2.
  2. ↑ R.C. Yates: A Handbook on Curves and Their Properties, s. 8. J. W. Edwards, 1952.
  3. ↑ Cassini oval Encyclopedia of mathematics. Viitattu 17.1.2022.

Aiheesta muualla

Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Cassinin käyrä.
  • MacTutor description (Arkistoitu – Internet Archive)
  • 2Dcurves.com description
  • "Ovale de Cassini", Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (ranska)