Epäjatkuvuuskohta

Epäjatkuvuuskohta liittyy käsitteenä matematiikassa funktion jatkuvuuteen. Epäjatkuvuuskohta on funktion määrittelyjoukon arvo (eli joukko-opissa alkio), jonka ympäristössä funktion arvot eivät toteuta jatkuvuusehtoa. Jatkuvuusehto riippuu matematiikan haarasta ja käsiteltävästä tilanteesta.

Yhden muuttujan reaalifunktiolla on jatkuvuusehto

${\displaystyle \lim _{x\to \ a-}f(x)=\lim _{x\to \ a+}f(x)=f(a),}$

jossa kohdassa ${\displaystyle a}$ toispuoleiset raja-arvot vasemmalta puolelta ja oikealta puolelta tulee olla samat ja tämän lisäksi funktion arvon ${\displaystyle f(a)}$ tulee olla raja-arvojen suuruinen. Jos toinen tai molemmat raja-arvot eivät ole olemassa tai ne ovat eri suuruiset, funktio on epäjatkuva kohdassa ${\displaystyle a}$. Jos funktion arvo ${\displaystyle f(a)}$ on eri suuri kuin raja-arvot, on funktio epäjatkuva.

On huomattava, että jatkuvuus ja epäjatkuvuus ovat funktion ominaisuuksia, joten funktio voi olla epäjatkuva vain pisteissä, joissa se on määritelty!^[1] Epäjatkuvuuskohdat voidaan luokitella seuraaviin kategorioihin tai niiden yhdistelmiin.

Piste, jossa funktion kuvaaja ''hyppää'' äkillisesti arvosta toiseen. Esimerkiksi funktio ${\textstyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$,

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-1,&{\text{kun }}x\leq 0\\1,&{\text{kun }}x>0\end{cases}}}$

on epäjatkuva pisteessä ${\textstyle x=0}$.^[1]

Esimerkiksi funktio ${\textstyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$,

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1/x,&{\text{kun }}x\neq 0\\0,&{\text{kun }}x=0\end{cases}}}$

on epäjatkuva pisteessä ${\textstyle x=0}$. Lähestyttäessä origoa vasemmalta funktion arvot pienenevät rajatta ja vastaavasti oikealta lähestyttäessä ne kasvavat rajatta.^[1]

Heilahteluepäjatkuvuuskohta on piste, jossa funktiota ei voi määritellä jatkuvaksi, sillä funktio saa millä tahansa välillä pisteen ympäristössä useita eri arvoja. Esimerkiksi funktio ${\textstyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$,

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)&{\text{kun }}x\neq 0\\x_{0},&{\text{kun }}x=0\end{cases}}}$

on epäjatkuva pisteessä ${\textstyle x=0}$ riippumatta siitä, miten luku ${\textstyle x_{0}}$ valitaan. Funktio saa kaikki arvot välillä ${\textstyle [-1,1]}$, kun ${\textstyle x\neq 0}$, riippumatta siitä, kuinka pienellä välillä origon ympärillä funktiota tarkasteltaisiin. Näin ollen, oli ${\textstyle f(0)}$ mitä tahansa, ei ${\textstyle f}$ ole jatkuva origossa.^[1]

Funktio saadaan ''korjattua'' jatkuvaksi epäjatkuvuuskohdassa, kun sen arvoa kyseisessä pisteessä muutetaan. Esimerkiksi funktio ${\textstyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$,

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x+1,&{\text{kun }}x\neq 2\\1,&{\text{kun }}x=2\end{cases}}}$

on epäjatkuva pisteessä ${\textstyle x=2}$, mutta ''korjaamalla'' ${\textstyle f(2)=3}$ siitä tulisi jatkuva.^[1]

• Weisstein, Eric W.: Continuous (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
• Weisstein, Eric W.: Continuous Function (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.