Matematiikassa Hölderin epäyhtälö on mittateoriaan liittyvä epäyhtälö, jota käytetään
-avaruuksien tutkimisessa.
Lause (Hölderin epäyhtälö). Olkoon (S, Σ, μ) mitta-avaruus ja olkoot
joille
. Tällöin kaikille mitallisille reaali- ja kompleksiarvoisille funktioille f ja g on voimassa
![{\displaystyle \|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcc6ef64b19122c3944cfee255b4f7cbd9f9afd9)
Summaversiolle on olemassa seuraava yleistys:[1] Olkoot
joille
ja
kolme jonoa positiivisia reaalilukuja. Tällöin
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}c_{i}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{q}\right)^{1/q}\left(\sum _{i=1}^{n}c_{i}^{r}\right)^{1/r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7c364dde3a511cf4dfaef1853f4cd2e7752124e)
Yhtälöstä on myös olemassa erikoistapaus Liapounovin epäyhtälö.
Lähteet
- ↑ http://www.win.tue.nl/~gwoegi/papers/cauchy.pdf (Arkistoitu – Internet Archive)
Kirjallisuutta
- Jalava, Väinö: Moderni analyysi I. 25, 152 sivua. Tampere: TTKK, 1976. ISBN 951-720-223-7.