Hardyn epäyhtälö

Hardyn epäyhtälö kuuluu matematiikassa seuraavasti: Olkoon A={a₁,a₂,...} jono epänegatiivisia reaalilukuja ja f epänegatiivinen integroituva funktio. Merkitään

${\displaystyle A_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}$

ja

${\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\operatorname {d} t}$.

Tällöin kaikilla p > 1 on voimassa

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {A_{n}}{n}}\right)^{p}<\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n})^{p}}$

jos (a_n) ei ole nolla kaikilla indekseillä n. Integroituvalle funktiolle F Hardyn epäyhtälö sanoo

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left({\frac {F(x)}{x}}\right)^{p}}$${\displaystyle \operatorname {d} x\leq \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\int _{0}^{\infty }(f(x))^{p}\operatorname {d} x}$.

Yhtäsuuruus pätee jos ja vain jos f(x) = 0 melkein kaikkialla.

• Weisstein, Eric W. "Hardy's Inequality." MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/HardysInequality.html