Hiukkanen laatikossa
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cd/Particle_in_a_box.svg/300px-Particle_in_a_box.svg.png)
Hiukkanen laatikossa eli hiukkanen äärettömän syvässä potentiaalikuopassa on kvanttimekaniikassa käytetty malli hiukkaselle, joka voi vapaasti liikkua tietyllä alueella, jota rajoittavat läpipääsemättömät esteet. Tätä hypoteettista mallia käytetään varsinkin havainnollistamaan klassisen ja kvanttifysiikan välislä eroja. Klassisen fysiikan mukaan esimerkiksi laatikkoon pudotettu pallo voi liikkua laatikon sisällä millä nopeudella tahansa, eikä laatikon sisällä ole sellaisia kohtia, joihin se päätyisi todennäköisemmin kuin joihinkin toisiin. Jos kuitenkin laatikko on hyvin kapea, vain muutaman nanometrin levyinen, kvantti-ilmiöt tulevat merkitseviksi. Hiukkanen voi tällöin olla vain tietyillä positiivisilla energiatasoilla. Sen liike-energia ei voi myöskään olla nolla, joten se ei voi olla laatikon sisällä levossa. Energiatasostaan riippuen se on myös tietyissä kohdissa suuremmalla todennäköisyydellä kuin toisissa, ja on tiettyjä kohtia, solmukohtia, joissa se ei voi olla.
Hiukkanen laatikossa on yksi niistä varsin harvoista kvanttimekaanisista probleemoista, joiden Schrödingerin yhtälö voidaan ratkaista analyyttisesti ilman approksimaatioita. Tämä merkitsee, että kappaleen havaittavat ominaisuudet kuten energia ja sijainti voidaan määrittää matemaattisesti sen massan ja laatikon leveyden perusteella. Yksinkertaisuutensa vuoksi tämän mallin avulla voidaan havainnollistaa kvantti-ilmiöitä ilman erityisen monimutkaista matematiikkaa. Se onkin fysiikan oppikirjoissa yksi ensimmäisinä käsitellyistä kvanttimekanisista probleemoista, ja sitä voidaan käyttää approksimaationa myös monimutkaisempiin kvanttimekaanisiin systeemeihin.
Yksiulotteinen tapaus
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/13/Infinite_potential_well-en.svg/250px-Infinite_potential_well-en.svg.png)
Yksinkertaisimmassa tapauksessa hiukkasen oletetaan olevan yksiulotteisessa laatikossa. Tällöin se voi liikkua vain eteen- tai taaksepäin suoraa viivaa pitkin kahden läpipääsemättömän esteen välisellä alueella.[1] Nämä seinät voidaan käsittää alueiksi, joissa hiukkasen potentiaali on äärettömän suuri. Sen sijaan laatikon sisällä potentiaali on äärellinen vakio, joka tavallisimmin oletetaan nollaksi. Tämä merkitsee, että laatikon sisällä hiukkaseen ei vaikuta mikään voima ja se voi liikkua laatikon sisällä vapaasti. Sen sijaan hiukkasen törmätessä seiniin siihen kohdistuu äärettömän suuri voima, joka estää sitä poistumasta laatikosta. Tämän mallin mukaan hiukkasen potentiaali on
missä on laatikon leveys ja hiukkasen sijainti laatikon sisällä.
Aaltofunktiot
Kvanttimekaniikassa hiukkasen käyttäytymistä kuvataan aaltofunktiolla, josta voidaan johtaa myös kaikki sen havaittavat ominaisuudet kuten sijainti, liikemäärä ja energia.[2] Aaltofunktio saadaan ratkaisemalla systeemin Schrödingerin yhtälö:
missä on redusoitu Planckin vakio, hiukkasen massa, imaginaariyksikkö ja aika.
Laatikon sisällä hiukkaseen ei vaikuta mikään voima, minkä vuoksi tällä alueella hiukkasen aaltofunktio on muodoltaan samankaltainen kuin vapaalla hiukkasella:[1][3]
missä ja ovat mielivaltaisia kompleksilukuja. Ajallisten ja paikallisten värähtelyjen taajuutta kuvaavat aaltoluku ja kulmataajuus . Nämä molemmat liittyvät hiukkasen kokonaisenergiaan yhtälön
-
mukaisesti, jota kutsutaan vapaan hiukkasen dispersiorelaatioksi.[1]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/47/Particle_in_a_box_wavefunctions_2.svg/190px-Particle_in_a_box_wavefunctions_2.svg.png)
Hiukkasen aaltofunktion amplitudin neliö kussakin pisteessä osoittaa todennäköisyyden olla kyseisessä kohdassa: . Tämän aaltofunktion on siis oltava nolla laatikon ulkopuolella.[1][3] Aaltofunktion on myös oltava jatkuva.[1] Ainoat aaltofunktiot, jotka toteuttavat nämä ehdot, ovat muotoa
missä on positiivinen kokonaisluku. Aaltoluku voi saada vain tiettyjä arvoja, jotka saadaan yhtälöistä [4]
missä on laatikon leveys. Yksinkertaisimmat tapaukset, joissa tai , jolloin aaltofunktion arvo on nolla kaikkialla, voidaan kuitenkin jättää huomiotta, sillä ne merkitsisivät, ettei hiukkasta ole missään.[5] Samoin voidaan jättää huomiotta tapaukset, joissa on negatiivinen, sillä tällöin saadut aaltofunktiot ovat muutoin samoja kuin positiivisillakin :n arvoilla, paitsi että aaltofunktion etumerkki on päinvastainen, millä ei kuitenkaan ole fysikaalista merkitystä.[5]
Vakio voidaan määrittää normittamalla aaltofunktio siten, että todennäköisyys sille, että hiukkanen on ylipäänsä jossakin, on 1. Tällöin saadaan:
A voi siis olla mikä tahansa kompleksiluku, jonka itseisarvo on √(2/L). Kaikki tällaiset A:n arvot kuvaavat kuitenkin samaa fysikaalista tilaa, joten yksinkertaisuuden vuoksi voidaan valita A = √(2/L).
Energiatasot
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b4/Confined_particle_dispersion_-_positive.svg/190px-Confined_particle_dispersion_-_positive.svg.png)
Kutakin mahdollista aaltolukua vastaavat energiat ovat[4]
- .
Energia on verrannollinen kvanttiluvun neliöön, minkä vuoksi korkeammat energiatasot ovat kauempana toisistaan kuin matalammat. Hiukkasen pienin mahdollinen eli nollapiste-energia on tasolla , jolloin se on [6]
Hiukkasella on siis aina positiivinen energia. Tämä tulos eroaa selvästi klassisesta mekaniikasta, jonka mukaan hiukkasen liike-energia voi olla myös nolla, missä tapauksessa se on levossa laatikon pohjalla. Sama tulos seuraa myös Heisenbergin epätarkkuusperiaatteesta, jonka mukaan hiukkasen paikan ja liikemäärän epätarkkuuksien tulo on vähintään
Voidaan osoittaa, että hiukkasen paikan epätarkkuus on verrannollinen laatikon leveyteen.[7] Tämän vuoksi sen liikemäärän epätarkkuus on kääntäen verrannollinen laatikon leveyteen.[6] Hiukkasen liike-energia on , ja niinpä sen pienin mahdollinen liike-energia laatikossa on kääntäen verrannollinen sen massaan ja laatikon leveyteen.[6]
Hiukkasen paikka
Klassisen fysiikan mukaan hiukkanen voi yhtä suurella todennäköisyydellä olla missä tahansa laatikon sisällä. Sen sijaan kvanttimekaniikan mukaan sen todennäköisyys olla tietyssä kohdassa saadaan sen aaltofunktiosta seuraavasti:
Tämä todennäköisyys riippuu hiukkasen energiatasosta ja voidaan ilmaista yhtälöllä
Jos n on suurempi kuin yksi, laatikon sisällä on kohtia, joissa tämä todennäköisyys on . Näitä sanotaan aaltofunktion solmukohdiksi, ja niistä hiukkasta ei voi löytää.
Kvanttimekaniikan mukaan hiukkasen keskimääräinen sijainti eli sijainnin odotusarvo on
Voidaan osoittaa, että tämä keskiarvo on hiukkasen energiatilasta riippumatta aina , eli sitä vastaava kohta on laatikon keskipisteessä.
Useampiulotteiset laatikot
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6d/Particle2D.svg/320px-Particle2D.svg.png)
Jos hiukkanen on suljettu kaksiulotteiseen laatikkoon, se voi liikkua vapaasti alueella, jonka leveys -akselin suunnassa on ja -akselin suunnassa . Samaan tapaan kuin yksiulotteisenkin laatikon tapauksessa voidaan osoittaa, että hiukkasen aaltofunktiot ja mahdolliset energiat ovat
- ,
- ,
missä kaksiulotteinen aaltovektori on
- .
Kolmiulotteisessa laatikossa ratkaisut ovat
- ,
- ,
missä kolmiulotteinen aaltovektori on
- .
Jos laatikon leveys kahteen tai useampaan suuntaan on sama (siis jos esimerkiksi ), on olemassa useampia aaltofunktioita, joita vastaa yhtä suuri kokonaisenergia. Esimerkiksi aaltofunktiota, jossa ja , vastaa yhtä suuri energia kuin aaltofunktiota, jossa ja . Tällaisia energiatasoja sanotaan degeneroituneiksi, ja tapausta, jossa yhtä suurta energiaa vastaavia aaltofunktioita on kaksi, kahdesti degeneroituneeksi. Degeneraatio aiheutuu systeemin symmetriasta. Kun laatikon leveys kahdessa kohtisuorassa suunnassa on sama, systeemi on symmetrinen 90 asteen rotaation suhteen.
Sovelluksia
Matemaattisen yksinkertaisuutensa vuoksi hiukkasta laatikossa voidaan käyttää likiarvona monimutkaisemmillekin systeemeille, esimerkiksi sellaisille, joissa elektroni tai muu varauksellinen hiukkanen on alueella, jossa sen sähköinen potentiaali on paljon alempi kuin tämän alueen ulkopuolella. Tällaiset systeemit ovat erityisen tärkeitä optoelektroniikassa, ja niitä käytetään muun muassa eräissä lasereissa ja infrapunasäteilyn mittauslaitteissa.
Lähteet
- B. H. Bransden, C. J. Joachain: Quantum mechanics, 2. painos. Pearson Education, Essex, 2000. ISBN 0-582-35691-1.
- John H. Davies: The Physics of Low-Dimensional Semiconductors: An Introduction, 6. painos. Cambridge University Press, 2006. ISBN 0-521-48491-X.
- David J. Griffiths: Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall, 2004. ISBN 0-13-111892-7.
Viitteet
Aiheesta muualla
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png)
- Scienceworld (Infinite Potential Well)
- 1-D quantum mechanics java applet simuloi hiukkasta laatikossa samoin kuin muita yksiulotteisia tapauksia.
- 2-D particle in a box applet