Kolmannen asteen käyrä

Kolmannen asteen käyrä on algebrallinen käyrä, jonka määrittelee yhtälö

F(x,y,z) = 0

sovellettuna homogeeniseen koordinaatistoon projektiivitasolle tai epähomogeeniseen avaruuteen, joka on määritelty asettamalla z = 1 em. yhtälössä. Tässä F on lineaarinen kombinaatio kolmannen asteen monomista

x³, y³, z³, x²y, x²z, y²x, y²z, z²x, z²y, xyz.

Kolmannen asteen käyrä on tasokäyrä, joka on muotoa

${\displaystyle a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}y+a_{3}xy^{2}+a_{4}y^{3}+a_{5}x^{2}+a_{6}xy+a_{7}y^{2}+a_{8}x+a_{9}y+a_{10}=0}$

polynomin kuvaaja. Tutuin esimerkki tällaisesta käyrästä on kuutioparaabeli: y = b₁x³ + b₂x² + b₃x + b₄ = 0.

Kolmannen asteen käyrät voivat olla muodoltaan hyvin vaihtelevia. Yhteisenä piirteenä niille on kuitenkin, että ne voivat leikata suoran enintään kolmessa pisteessä.^[1]

Alla olevissa kuvissa on joitakin esimerkkejä kolmannen asteen käyristä ja niiden yhtälöt.

• 
  Kuutioparaabeli
  ${\displaystyle y=x^{3}}$
• 
  Kolmannen asteen polynomifunktion kuvaaja
  y = ax³+bx²+cx+d
• 
  Descartesin lehti
  ${\displaystyle x^{3}+y^{3}-3axy=0}$
• 
  Diokleen kissoidi
  ${\displaystyle (x^{2}+y^{2})x=2ay^{2}}$
• 
  de Sluzen konkoidi
  (x-1)(x²+y²) = ax²
• 
  Singulaarinen kolmannen asteen käyrä
  ${\displaystyle y^{2}=x^{2}(x+1)}$
• 
  Oikea strofoidi
  ${\displaystyle y^{2}=x^{2}{\frac {a-x}{a+x}}}$
• 
  Puolikuutioparaabeli
  ${\displaystyle y^{2}=x^{3}}$
• 
  Serpentiinikäyrä
  ${\displaystyle y={\frac {abx}{x^{2}+a^{2}}}}$
• 
  Tridenttikäyrä
  xy+ax³+bx²+cx = d
• 
  Maclaurinin trisectrix
  2x(x²+y²) = a(3x²-y²)
• 
  Tschirnhausenin kuutiollinen käyrä
  ${\displaystyle 3ay^{2}=x(x-a)^{2}}$
• 
  Agnesin noita
  ${\displaystyle y={\frac {8a^{3}}{x^{2}+4a^{2}}}}$

• A Catalog of Cubic Plane Curves (Arkistoitu – Internet Archive)