Kolmion ratkaiseminen

Kolmion ratkaiseminen (lat. solutio triangulorum) on trigonometrinen tehtävä, jossa on laskettava kolmion sivujen pituudet ja niiden väliset kulmat, kun osa niistä tunnetaan. Kolmio voi olla tavallinen tasopinnalla oleva tasokolmio tai pallopinnalla oleva pallokolmio. Kolmion ratkaisemisella on käytännön sovelluksia kuten geodesiassa, tähtitieteessä, rakennustekniikassa ja navigoinnissa.

Kolmiota luonnehtii kuusi suuretta: kolmen sivun pituudet a, b ja c sekä niiden väliset kolme kulmaa, α, β ja γ. Kolmioiden yhtenevyyttä koskevista tuloksista seuraa, että jos näistä tunnetaan kolme, jotka eivät kaikki ole kulmia, voidaan seuraavissa tapauksissa kolme muutakin yksikäsitteisesti laskea:

• tunnetaan kolmion kaikki sivut (SSS, "sivu-sivu-sivu")
• tunnetaan kaksi sivua ja niiden välinen kulma (SKS, "sivu-kulma-sivu")
• tunnetaan kaksi kulmaa ja niiden välinen sivu (KSK, "kulma-sivu-kulma")
• tunnetaan kaksi kulmaa ja toisen kulman vastainen sivu ('SKK, "sivu-kulma-kulma").

Myös siinä tapauksessa, että tunnetaan kaksi sivua ja toisen sivun vastainen kulma (SSK, "sivu-sivu-kulma"), voidaan muut kulmat ja kolmas sivu yksikäsitteisesti laskea, mikäli tunnetun kulman vastainen sivu on pidempi kuin tunnettu saman kulman viereinen sivu. Mikäli tunnetun kulman vastainen sivu on lyhempi kuin viereinen sivu, mahdollisuuksia on kaksi.

Jos vain kolmion kulmat tunnetaan, ei sivujen pituuksia voida laskea, ainoastaan niiden suhteet. Kaikissa keskenään yhdenmuotosisissa kolmioissa ovat nimittäin kulmat yhtä suuret, vaikka kolmiot voivat olla minkä kokoisia tahansa.

Kolmioiden ratkaiseminen perustuu trigonometrian sini- ja kosinilauseeseen.^[1] Sinilauseen mukaan kolmion sivut suhtautuvat toisiinsa kuten niiden vastakkaisten kulmien sinit^[2], toisin sanoen:

${\displaystyle {\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}={\frac {c}{\sin {gamma}}}}$

Kosinilauseen mukaan kolmion kolmas sivu voidaan laskea kahden muun sivun ja niiden välisen kulman avulla seuraavasti:^[3]

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos {\alpha }}$

sekä vastaavasti:

${\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos {beta}}$

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos {gamma}}$

Joskus käyttökelpoisia ovat myös tangenttilause

$${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan {\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}}.}$$

sekä kotangenttilause ja Mollweiden kaava.

1. Tuntemattoman kulman ratkaisemiseksi kannattaa mahdollisuuksien mukaan käyttää kosinilausetta sinilauseen sijasta. Syynä on se, että kulman sini ei yksikäsitteisesti määritä kulmaa. Jos esimerkiksi ${\displaystyle \sin {\beta }=0.5}$, voi β olla joko 30° tai 150°. Kosinilausetta käytettäessä ei tällaista vaikeutta ole, koska 0°:n ja 180°:n välillä on vain yksi kulma, jonka kosini saa tietyn arvon. Toisaalta kuitenkin jos kulma on pieni tai lähellä 180 astetta, se on helpompi laskea numeerisesti sininsä avulla, koska kosinifunktion käänteisfunktion, arkuskosinin derivaatta kasvaa rajatta argumentin lähestyessä arvoa 1 tai -1.
2. Oletetaan, että tunnettujen sivujen ja kulmien keskinäinen järjestys on myös tunnettu, toisin sanoen tiedetään, seuraavatko tunnetut sivut ja kulmat toisiaan annetussa järjestyksessä kolmiota myötä- vai vastapäivään kierrettäessä. Ellei tätä tiedetä, ratkaisuksi saadaan kaksi erilaista kolmiota, jotka ovat toistensa peilikuvia.

Oletetaan, että kolmion sivut tunnetaan ja ne ovat a, b ja c. Lisäksi on oletettava, ettei yksikään näistä ole suurempi kuin kahden muun summa kolmioepäyhtälö). Kolmion kulmat voidaan tällöin laskea kosinilauseen avulla seuraavasti:^[1]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\\[4pt]\beta &=\arccos {\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}\\[4pt]\gamma &=\arccos {\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.\end{aligned}}}$$

Kun kaksi kulmaa (α ja β) on laskettu, voidaan kolmas laskea myös yksinkertaisemmin seuraavasti:

${\displaystyle \gamma =180^{0}-\alpha -\beta }$,

koska kolmion kulmien summa on aina 180°.

Heronin kaavan avulla voidaan kolmion pinta-alakin laskea, kun sen sivujen pituudet tunnetaan. Se on

${\displaystyle A={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$, jossa ${\displaystyle p=(a+b+c)/2}$ on puolet kolmion piiristä.

Oletetaan, että kolmion kaksi sivua ovat a ja b ja niiden välinen kulma γ. Kolmas sivu voidaan tällöin laskea kosinilauseen avulla:^[4] $${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}.}$$

Tämän jälkeen voidaan kosinilauseen avulla laskea kolmion toinenkin kulma: $${\displaystyle \alpha =\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}.}$$ ja edelleen kolmas kulma:

${\displaystyle \beta =180^{0}-\alpha -\gamma }$.

Oletetaan, että kolmiosta tunnetaan kaksi kulmaa, α ja β, ja niiden välinen sivu c. Kolmion kolmas kulma on tällöin:

${\displaystyle \gamma =180^{0}-\alpha -\beta }$.

Kaksi tuntematonta sivua voidaan laskea sinilauseen avulla.^[5] $${\displaystyle {\begin{aligned}a&=c\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \gamma }}=c\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha }}\\[4pt]b&=c\ {\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }}=c\ {\frac {\sin \beta }{\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha }}\end{aligned}}}$$

Jos kolmion kaksi kulmaa ja niistä toisen vastainen sivu tunnetaan, muut kulmat ja sivut voidaan laskea samoin kuin edellä, kun kulmien välinen sivu tunnetaan. Ensin lasketaan kolmion kolmas kulma käyttäen sitä tietoa, että kolmion kulmien summa on vakio (180°), minkä jälkeen muut kaksi sivua lasketaan sinilauseen avulla kuten edellä.

Jos kaksi sivua ja toisen sivun vastainen kulma on annettu, ei kolmiota kaikissa tapauksissa voida muodostaa. Toisinaan taas nämä ehdot toteuttavia kolmioita on kaksi erilaista. Ratkaisu on yksikäsitteinen vain, jos annetun kulman viereinen annettu sivu on lyhempi kuin toinen annettu sivu.

Oletetaan, että sivut b ja c ja kulma β on annettu. Sinilauseen nojalla kulmalle γ saadaan lauseke:^[6] $${\displaystyle \sin \gamma ={\frac {c}{b}}\sin \beta .}$$

Seuraavassa käytetään edellisen yhtälön oikealle puolelle suhteelle ${\displaystyle {\frac {c}{b}}\sin \beta }$ merkintää D. Tällöin on neljä erilaista tapausta:

1. Jos D > 1, ei annetut ehdot täyttävää kolmiota voida muodostaa, koska sivu b ei ulotu sivulle BC saakka. Samasta syystä kolmiota ei voida muodostaa myöskään, jos β ≥ 90° ja b ≤ c.

1. Jos D = 1, tehtävällä on yksikäsitteinen ratkaisu, γ = 90°. Kolmio on siis suorakulmainen; kolmas kulma α on α = 90° - β, ja sivu a on Pythagoraan lauseen mukaan ${\displaystyle a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}}$.
2. Jos D < 1, on vielä kaksi mahdollisuutta:
   1. Jos b ≥ c, on β ≥ γ, sillä pidemmän sivun vastainen kulma on suurempi. Koska missään kolmiossa ei voi olla kahta tylppää kulmaa, kulman γ on oltava terävä ja ratkaisu ${\displaystyle \gamma =\arcsin {D}}$ on yksikäsitteinen.
   2. Jos b < c, kulma γ voi olla joko terävä, ${\displaystyle \gamma =\arcsin {D}}$, tai tylppiä, ${\displaystyle \gamma =180^{0}-\arcsin {D}}$. Viereisessä kuviossa edellisen ratkaisun muodostavat piste C, sivu b ja kulma γ, jälkimmäisen piste C’, sivu b’ ja kulma γ’.

Kun kulma γ on näin saatu, kolmas kulma voidaan laskea: :${\displaystyle \gamma =180^{0}-\alpha -\beta }$. Kolmas sivu a voidaan laskea joko sinilauseella:

$${\displaystyle a=b\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}}$$

tai kosinilauseella: $${\displaystyle a=c\cos \beta \pm {\sqrt {b^{2}-c^{2}\sin ^{2}\beta }}}$$

Tasokolmion tavoin myös pallokolmiota luonnehtii kolme sivua ja kolme kulmaa. Kun näistä yhteensä kuudesta suureesta tunnetaan kolme, voidaan kolme muutakin ratkaista. Pallokolmion sivut a, b ja c ovat pallon isoympyröiden kaaria, ja niiden pituuksien sijasta käytetään yleensä niitä vastaavia keskuskulmia, jotka ilmoitetaan kulmayksiköissä. Yksikköpallolla tämä keskuskulma radiaaneina on yhtä suuri kuin kaaren pituus. Muun suuruisilla palloilla taas tämä keskuskulma radiaaneina on yhtä suuri kuin kaaren pituus jaettuna pallon säteellä.

Pallogeometria poikkeaa monessa suhteessa tason euklidisesta geometriasta, joten pallokolmioiden ratkaisemisessa on noudatettava eri sääntöjä. Esimerkiksi pallokulmion kulmien summa α + β + γ on aina suurempi kuin 180° ja riippuu kolmion koosta. Lisäksi erikokoiset kolmiot eivät voi olla yhdenmuotoisia, ja näin ollen pallokolmion sivut voidaan yksikäsitteisesti määrittää, jos tunnetaan kolmion kaikki kulmat. Tasotrigonometrian sini- ja kosinilauseilla on kuitenkin läheiset vastineet myös pallotrigonometriassa: sinilause

${\displaystyle {\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin b}{\sin B}}={\frac {\sin c}{\sin C}}}$,

sekä ensimmäinen ja toinen kosinilause

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos a&=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A\\\cos A&=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos a.\end{aligned}}}$

missä A, B ja C ovat pallokolmion kulmat ja a, b ja c sen (kulmamitoissa ilmaistut) sivut.^[7]

Muita usein käyttökelpoisia lauseita ovat puolen sivun kaava ja Napierin verrannot:^[8][9] $${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\tfrac {1}{2}}c\,\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )&=\tan {\tfrac {1}{2}}(a+\,b)\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )\\\tan {\tfrac {1}{2}}c\,\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )&=\tan {\tfrac {1}{2}}(a\ \!-\,b)\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )\\\cot {\tfrac {1}{2}}\gamma \ \!\cos {\tfrac {1}{2}}(a\ \!-\,b)&=\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )\cos {\tfrac {1}{2}}(a+b)\\\cot {\tfrac {1}{2}}\gamma \,\sin {\tfrac {1}{2}}(a\ \!-\,b)&=\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )\sin {\tfrac {1}{2}}(a+b).\end{aligned}}}$$

Jäljempänä esitettävissä yhtälöissä a, b ja c tarkoittavat siis kaaria vastaavia keskuskulmia kulmayksiköissä. Jos ne halutaan ilmaista pituusyksiköissä, on a, b ja c kaikkialla korvattava lausekkeilla a/R, b/R ja c/R, missä kulmat on mitattu radiaaneina ja R on pallon säde. Edellä esitetyt tasokolmioita koskevat lausekkeet saadaan tällöin raja-arvoina, kun R kasvaa rajatta eli lähestyy ääretöntä.^[10] .

Oletetaan, että kolmion sivut a, b ja c tunnetaan kulmayksiköissä. Kolmion kulmat voidaan laskea pallotrigonometrian kosinilauseen avulla: $${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arccos {\frac {\cos a-\cos b\ \cos c}{\sin b\ \sin c}},\\[4pt]\beta &=\arccos {\frac {\cos b-\cos c\ \cos a}{\sin c\ \sin a}},\\[4pt]\gamma &=\arccos {\frac {\cos c-\cos a\ \cos b}{\sin a\ \sin b}}.\end{aligned}}}$$

Oletetaan, että pallokolmion kaksi sivua ovat kulmayksiköissä a ja b ja että niiden välinen kulma on γ. Sivu c saadaan nytkin pallotrigonometrian kosinilauseen avulla: $${\displaystyle c=\arccos \left(\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma \right).}$$

Kulmat α ja β voidaan laskea kuten edellä taikka Napierin verrantojen avulla seuraavasti:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arctan \ {\frac {2\sin a}{\tan {\frac {1}{2}}\gamma \,\sin(b+a)+\cot {\frac {1}{2}}\gamma \,\sin(b-a)}},\\[4pt]\beta &=\arctan \ {\frac {2\sin b}{\tan {\frac {1}{2}}\gamma \,\sin(a+b)+\cot {\frac {1}{2}}\gamma \,\sin(a-b)}}.\end{aligned}}}$$

Tätä tulosta sovelletaan navigoinnissa maapallon isoympyrää pitkin tai määritettäessä kahden maapallolla olevan paikkakunnan kautta kulkeva isoympyrä, kun paikkakuntien leveys- ja pituusasteen tunnetaan. Tällöin on käytettävä kaavoja, jotka eivät ole alttiina suurille pyöristysvirheille. Seuraavat vektorialgebran avulla johdetut kaavat ovat käyttökelpoisia:

$${\displaystyle {\begin{aligned}c&=\arctan {\frac {\sqrt {(\sin a\cos b-\cos a\sin b\cos \gamma )^{2}+(\sin b\sin \gamma )^{2}}}{\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma }},\\[4pt]\alpha &=\arctan {\frac {\sin a\sin \gamma }{\sin b\cos a-\cos b\sin a\cos \gamma }},\\[4pt]\beta &=\arctan {\frac {\sin b\sin \gamma }{\sin a\cos b-\cos a\sin b\cos \gamma }},\end{aligned}}}$$ joissa lausekkeiden osoittajan ja nimittäjän etumerkeistä päätellään, mihin tason neljännekseen arkustangentti kuuluu.

Tämä tehtävä ei kaikissa tapauksissa ole ratkaistavissa, ja ratkaisu on varmasti yksikäsitteinen vain, jos tunnetun kulman viereinen sivu on lyhyempi kuin toinen tunnettu sivu.

Oletetaan, että tunnetaan sivut b ja c ja sivun b vastainen kulma β. Ratkaisu on olemassa, jos seuraava ehto pätee: $${\displaystyle b>\arcsin \!{\bigl (}\sin c\,\sin \beta {\bigr )}.}$$

Kulma γ saadaan tällöin pallokolmioiden sinilauseen avulla:

$${\displaystyle \gamma =\arcsin {\frac {\sin c\,\sin \beta }{\sin b}}.}$$

Jos b < c, ratkaisuja on kaksi, samoin kuin tasokolmioidenkin tapauksessa, nimittäin γ ja 180° - γ.

Sivu a ja sen vastainen kulma α saadaan Napierin verrantojen avulla: $${\displaystyle {\begin{aligned}a&=2\arctan \left[\tan {\tfrac {1}{2}}(b-c)\ {\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\beta +\gamma )}{\sin {\tfrac {1}{2}}(\beta -\gamma )}}\right],\\[4pt]\alpha &=2\operatorname {arccot} \left[\tan {\tfrac {1}{2}}(\beta -\gamma )\ {\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(b+c)}{\sin {\tfrac {1}{2}}(b-c)}}\right].\end{aligned}}}$$

Oletetaan, että kolmiosta tunnetaan kaksi sivua, α ja β ja niiden välinen sivu c. Lasketaan ensin kolmion kolmas kulma γ pallokolmioiden kosinilauseen avulla:

$${\displaystyle \gamma =\arccos \!{\bigl (}\sin \alpha \sin \beta \cos c-\cos \alpha \cos \beta {\bigr )}.\,}$$

Kaksi tuntematonta sivua saadaan lasketuiksi joko tämän lasketun kulman γ ja pallokolmioiden kosinilauseen avulla:

$${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\arccos {\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }},\\[4pt]b&=\arccos {\frac {\cos \beta +\cos \alpha \cos \gamma }{\sin \alpha \sin \gamma }},\end{aligned}}}$$

tai Napierin epäyhtälöillä: $${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\arctan {\frac {2\sin \alpha }{\cot {\frac {1}{2}}c\,\sin(\beta +\alpha )+\tan {\frac {1}{2}}c\,\sin(\beta -\alpha )}},\\[4pt]b&=\arctan {\frac {2\sin \beta }{\cot {\frac {1}{2}}c\,\sin(\alpha +\beta )+\tan {\frac {1}{2}}c\,\sin(\alpha -\beta )}}.\end{aligned}}}$$

Oletetaan, että pallokolmiosta tunnetaan kulmat α ja β sekä kulman α vastainen sivu a. Sivu b saadaan tällöin lasketuksi pallokolmioiden sinilauseen avulla: $${\displaystyle b=\arcsin {\frac {\sin a\,\sin \beta }{\sin \alpha }}.}$$

Jos kulma α on terävä ja α > β, tehtävällä on toinekin ratkaisu: $${\displaystyle b=\pi -\arcsin {\frac {\sin a\,\sin \beta }{\sin \alpha }}.}$$

Muut sivut ja kulma γ saadaan Napierin verrantojen avulla: $${\displaystyle {\begin{aligned}c&=2\arctan \left[\tan {\tfrac {1}{2}}(a-b)\ {\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{\sin {\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )}}\right],\\[4pt]\gamma &=2\operatorname {arccot} \left[\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )\ {\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(a+b)}{\sin {\frac {1}{2}}(a-b)}}\right].\end{aligned}}}$$

Toisin kuin tasokolmioilla, pallokolmion sivujen pituudet voidaan yksikäsitteisesti ratkaista myös siinä tapauksessa, että tunnetaan vain kaikki kolme kulmaa, α, β ja γ. Sivut saadaan pallokolmioiden kosinilauseen avulla: $${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\arccos {\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }},\\[4pt]b&=\arccos {\frac {\cos \beta +\cos \gamma \cos \alpha }{\sin \gamma \sin \alpha }},\\[4pt]c&=\arccos {\frac {\cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta }{\sin \alpha \sin \beta }}.\end{aligned}}}$$

Edellä esitetyt algoritmit yksinkertaistuvat huomattavati, jos jokin pallokolmion kulmista, esimerkiksi kulma γ, on [[suora kulma|suora]. Sellainen kolmio voidaan ratkaista, kun suoran kulman lisäksi tunnetaan kaksi muuta elementtiä (sivua tai kulmaa); muut kolme voidaan tällöin ratkaista joko Napierin viisikulmion tai seuraavien relaatioiden avulla:

${\displaystyle \sin a=\sin c\cdot \sin \alpha }$ (pallokolmioiden sinilauseen mukaan)

${\displaystyle \tan a=\sin b\cdot \tan \alpha }$

${\displaystyle \cos c=\cos a\cdot \cos b}$ (pallokolmioden kosinilauseen mukaan)

${\displaystyle \tan b=\tan c\cdot \cos \alpha }$

${\displaystyle \cos A=\cos a\cdot \sin \beta }$ (pallokolmioiden kosinilauseen mukaan)

${\displaystyle \cos c=\cot A\cdot \cot \beta }$

Pääartikkeli: Kolmiomittaus

Jos halutaan määrittää kaukana näkyvän laivan etäisyys rannasta (d), valitaan rannalta kaksi pistettä, joiden etäisyys eli kolmiomittauksen perusviiva, l, tunnetaan. Olkoot α ja β perusviivan ja laivaan osoittavien suuntien väliset kulmat.

Kun laiva näkyy, sen etäisyys ei ole niin suuri, että maan pallonmuotoisuus olisi otettava huomioon. Näin ollen voidaan käyttää tasokolmioiden KSK-tapauksen tulosta. Laivan etäisyys rannasta on perusviivan päätepisteiden ja laivan muodostaman kolmion korkeusjanan pituus: $${\displaystyle d={\frac {\sin \alpha \,\sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )}}\ell ={\frac {\tan \alpha \,\tan \beta }{\tan \alpha +\tan \beta }}\ell .}$$

Jos maan pallonmuotoisuus kuitenkin on otettava huomioon, on ensin laskettava etäisyys jommastakummasta pisteestä (α tai β) laivaan. Pisteestä α laskettu etäisyys on edellä KSK-tapaukselle johdetun lausekkeen mukaan $${\displaystyle \tan b={\frac {2\sin \beta }{\cot {\frac {1}{2}}\ell \,\sin(\alpha +\beta )+\tan {\frac {1}{2}}\ell \,\sin(\alpha -\beta )}},}$$. Kun tämä sijoitetaan tapauksessa SKK saatuun lausekkeesen ja käytetään suorakulmaista osakulmiota, johon sisältyvät kulma α ja sivt b ja d, saadaan: $${\displaystyle \sin d=\sin b\sin \alpha ={\frac {\tan b}{\sqrt {1+\tan ^{2}b}}}\sin \alpha .}$$ Tasokolmiolle edellä kohdettu lauseke on itse asiassa sama kuin Taylorin sarjan ensimmäinen termi, kun pallokolmiole kohdettu lauseke esitetään ℓ:n potenssien sarjana.

Tätä menetelmää käytetään kabotaasissa. Kulmat α ja β määritetään tarkkailemalla tuttuja maamerkkejä laivasta käsin.

Toisena esimerkkinä voidaan tarkastella vuoren tai korkean rakennuksen korkeuden määritystä. Valitaan maan pinnalta kaksi pistettä, joista katsottuna vuoren tai rakennuksen huipun korkeuskulmat ovat α ja β, ja olkoon ℓ näiden pisteiden etäisyys toisistaan. Samoista KSK-tapauksen kaavoista saadaan korkeudeksi:

 h = \frac{\sin\alpha\,\sin\beta}{\sin(\beta-\alpha)} \ell = \frac{\tan\alpha\,\tan\beta}{\tan\beta-\tan\alpha} \ell.

</math>

Jos kahden maapallolla olevan paikkakunnan maantieteellinen pituus ja leveys ovat Kahden maapallolla olevan paikkaku To calculate the distance between two points on the globe,

paikkakunta A: leveys λ_A, pituus L_A, ja

paikkakunta B: leveys λ{_b, pituus L_B,

niiden välinen etäisyys maapallon isoympyrää pitkin mitattuna voidaan laskea muodostamalla maapallolle pallokolmio, jonka kärkinä A ja B ovat paikkakunnat A ja B sekä kolmantena kärkipisteenä C pohjoisnapa. Tällöin pallokulmion kaksi sivua ovat: $${\displaystyle {\begin{aligned}a&=90^{\circ }-\lambda _{B},\\b&=90^{\circ }-\lambda _{A},\\\gamma &=L_{A}-L_{B}.\end{aligned}}}$$ Kolmiosta tunnetaan siis kaksi sivua ja niiden välinen kulma, joka on sama kuin paikkakuntien A ja B maantietellisten pituuksien erotus |L_{B - LA|.}

Edellä olevan SKS-tuloksen mukaan paikkakuntien A ja B etäisyys on siis: $${\displaystyle {\overline {AB}}=R\arccos \!{\Bigr [}\sin \lambda _{A}\sin \lambda _{B}+\cos \lambda _{A}\cos \lambda _{B}\cos(L_{A}-L_{B}){\Bigr ]}.}$$, missä R on Maan säde (noin 6366 km).

Pallokolmioiden ratkaisemisen muihin sovelluksiin kuuluu myös muslimien kohti Mekkaa osoittavan rukokussuunnan eli qiblan määrittäminen. Tehtävä voidaan ratkaista muodostamalla pallokolmio, yksi kärki (A) on pohjoisnavalla, toinen (B) Mekassa ja kolmas (C) sillä paikkakunnalla, josta käsin suunta on määritettävä. Tällöin kulma γ, jonka kärki on pisteessä C, osoittaa, minkä verran tämä suunta poikkeaa pohjoissuunnasta.

• Spherical trigonometry Wolfram MathWorld. Eric W. Weisstein. Viitattu 12.8.2024.
• Triangulator (Ohjelma mielivaltaisen tasokolmion ratkaisemiseksi) rlefebvre.ca. Viitattu 12.8.2024.
• Spherical Triangle Calculator (Ohjelma mielivaltaisen pallokolmion ratkaisemiseksi) gnomonique.fr. Viitattu 12.8.2024.