Lebesguen–Stieltjesin integraali on integraali, jonka tunnistaa merkintätavasta
, missä
ja
ovat funktioita. Sitä voidaan pitää yleistyksenä sekä Lebesguen integraalista että Riemannin–Stieltjesin integraalista.[1] Lebesgue-Stieltjes-integraalilla on sovelluksia esimerkiksi todennäköisyyslaskennassa, erityisesti stokastisten prosessien alalla.
Lebesgue-Stieltjes-integraalin muodollinen määrittely
Integraalina Lebesgue-Stieltjes-integraali on määriteltävissä tietyn numeroituvasti additiivisen positiivisen mitan suhteen. Tässä määritellään kyseinen mitta.
Olkoon
,
, funktio
kasvava ja oikealta jatkuva sekä raja-arvo
kaikissa pisteissä
olemassa.
Olkoon
. Määritellään joukkofunktio
kaavalla
. Tällöin
on laajennettavissa numeroituvasti additiiviseksi positiiviseksi mitaksi, joka on määritelty kaikilla välin
Borel-joukoilla. Samaistetaan jatkossa tämä mitta joukkofunktion
kanssa.
Mitallisen funktion
Lebesgue-Stieltjes-integraali on sen integraali mitalla
, eli yli määrittelyjoukkonsa se on mittaintegraalina
. Sille käytetään kuitenkin merkintää
. Funktiota
kutsutaan integrandiksi ja funktiota
integraattoriksi.
Lebesgue-Stieltjes-integraali laajennetaan vielä määritellyiksi integraattoreille, jotka ovat rajoitetusti heilahtelevia. Jos
on rajoitetusti heilahteleva, on sille olemassa hajotelma
, missä
ja
ovat kasvavia funktioita
. Tällöin määritellään
. Lebesgue-Stieltjes-integraalille erityisiä ominaisuuksia
Lebesgue-Stieltjes-integraali on integraalin perusominaisuuksien mukaan automaattisesti lineaarikuvaus integrandinsa suhteen, mutta se on sitä myös integraattorinsa suhteen, toisin sanoen bilineaarinen:
. Lebesgue-Stieltjes-integraalia voidaan pitää yleistyksenä Riemannin integraalista. Jos integraattori on identiteettifunktio, niin integraali supistuu funktion
Riemannin integraaliksi yli välin
:
olettaen, että
on Riemann-integroituva.
Jos
on derivoituva sekä
ja
ovat Riemann-integroituvia, niin Lebesgue-Stieltjes-integraalin arvon voi laskea Riemannin integraalina. Tällöin nimittäin pätee kaava
. Jos funktiolla
on epäjatkuvuuskohta pisteessä
ja se on muualla derivoituva sekä muut edelliset oletukset pätevät, niin
. Yleisemmässä tapauksessa Lebesgue-Stieltjes-integraalin arvot voi laskea numeerisesti. Jos
on vasemmalta jatkuva, rajoitetusti heilahteleva ja rajoitettu, niin
, missä
on tihentyvä jono välin
jakoja, eli
, kun
.
Katso myös
Lähteet
- ↑ Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 266. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.
Kirjallisuutta
- Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).
Aiheesta muualla
- MathWorld. Lebesgue-Stieltjes Integral