Lebesguen–Stieltjesin integraali

Lebesguen–Stieltjesin integraali on integraali, jonka tunnistaa merkintätavasta

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)}$,

missä ${\displaystyle f}$ ja ${\displaystyle g}$ ovat funktioita. Sitä voidaan pitää yleistyksenä sekä Lebesguen integraalista että Riemannin–Stieltjesin integraalista.^[1] Lebesgue-Stieltjes-integraalilla on sovelluksia esimerkiksi todennäköisyyslaskennassa, erityisesti stokastisten prosessien alalla.

Integraalina Lebesgue-Stieltjes-integraali on määriteltävissä tietyn numeroituvasti additiivisen positiivisen mitan suhteen. Tässä määritellään kyseinen mitta.

Olkoon ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle a<b}$, funktio ${\displaystyle g:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ kasvava ja oikealta jatkuva sekä raja-arvo

${\displaystyle g(t-)=\lim _{s\rightarrow t-}g(s)=\lim _{s\uparrow t}g(s)}$

kaikissa pisteissä ${\displaystyle t\in [a,b]}$ olemassa.

Olkoon ${\displaystyle [\alpha ,\beta ]\subset [a,b]}$. Määritellään joukkofunktio ${\displaystyle m_{g}}$ kaavalla ${\displaystyle m_{g}((\alpha ,\beta ])=g(\beta )-g(\alpha )}$. Tällöin ${\displaystyle m_{g}}$ on laajennettavissa numeroituvasti additiiviseksi positiiviseksi mitaksi, joka on määritelty kaikilla välin ${\displaystyle [a,b]}$ Borel-joukoilla. Samaistetaan jatkossa tämä mitta joukkofunktion ${\displaystyle m_{g}}$ kanssa.

Mitallisen funktion ${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ Lebesgue-Stieltjes-integraali on sen integraali mitalla ${\displaystyle m_{g}}$, eli yli määrittelyjoukkonsa se on mittaintegraalina

${\displaystyle \int _{[a,b]}f\,dm_{g}}$.

Sille käytetään kuitenkin merkintää

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)}$.

Funktiota ${\displaystyle f}$ kutsutaan integrandiksi ja funktiota ${\displaystyle g}$ integraattoriksi.

Lebesgue-Stieltjes-integraali laajennetaan vielä määritellyiksi integraattoreille, jotka ovat rajoitetusti heilahtelevia. Jos ${\displaystyle g}$ on rajoitetusti heilahteleva, on sille olemassa hajotelma ${\displaystyle g=g_{1}-g_{2}}$, missä ${\displaystyle g_{1}}$ ja ${\displaystyle g_{2}}$ ovat kasvavia funktioita ${\displaystyle [a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$. Tällöin määritellään

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)=\int _{a}^{b}f(x)\,dg_{1}(x)-\int _{a}^{b}f(x)\,dg_{2}(x)}$.

Lebesgue-Stieltjes-integraali on integraalin perusominaisuuksien mukaan automaattisesti lineaarikuvaus integrandinsa suhteen, mutta se on sitä myös integraattorinsa suhteen, toisin sanoen bilineaarinen:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,d(\alpha _{1}g_{1}(x)+\alpha _{2}g_{2}(x))=\alpha _{1}\int _{a}^{b}f(x)\,dg_{1}(x)+\alpha _{2}\int _{a}^{b}f(x)\,dg_{2}(x)}$.

Lebesgue-Stieltjes-integraalia voidaan pitää yleistyksenä Riemannin integraalista. Jos integraattori on identiteettifunktio, niin integraali supistuu funktion ${\displaystyle f}$ Riemannin integraaliksi yli välin ${\displaystyle [a,b]}$:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,d(Id(x))=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

olettaen, että ${\displaystyle f}$ on Riemann-integroituva.

Jos ${\displaystyle g}$ on derivoituva sekä ${\displaystyle f}$ ja ${\displaystyle g'}$ ovat Riemann-integroituvia, niin Lebesgue-Stieltjes-integraalin arvon voi laskea Riemannin integraalina. Tällöin nimittäin pätee kaava

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)=\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx}$.

Jos funktiolla ${\displaystyle g}$ on epäjatkuvuuskohta pisteessä ${\displaystyle c\in [a,b]}$ ja se on muualla derivoituva sekä muut edelliset oletukset pätevät, niin

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)=\int _{a}^{c}f(x)g'(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)g'(x)\,dx+f(c)\left(\lim _{x\rightarrow c+}g(x)-\lim _{x\rightarrow c-}g(x)\right)}$.

Yleisemmässä tapauksessa Lebesgue-Stieltjes-integraalin arvot voi laskea numeerisesti. Jos ${\displaystyle f}$ on vasemmalta jatkuva, rajoitetusti heilahteleva ja rajoitettu, niin

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{n})(g(x_{i+1}^{n})-g(x_{i}^{n}))}$,

missä ${\displaystyle a=x_{1}^{n}<x_{2}^{n}<\ldots <x_{n}^{n}=b}$ on tihentyvä jono välin ${\displaystyle [a,b]}$ jakoja, eli ${\displaystyle \max\{x_{i+1}^{n}-x_{i}^{n}\,|\,i=1,\ldots ,n-1\}\rightarrow 0}$, kun ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$.

• Odotusarvo

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).

• MathWorld. Lebesgue-Stieltjes Integral