Maksimi

Maksimi (lyhenne maks.^[1] tai ${\displaystyle \max }$) tarkoittaa yleiskielessä ja tekniikassa korkeinta arvoa tai enimmäisarvoa. Matematiikassa maksimi tarkoittaa usein lukujoukon tai funktion suurinta arvoa tarkasteluvälillä.

Joukko-opissa joukon maksimi on sen suurin alkio. Eksaktimpi määritelmä: joukon S maksimi on luku m, jos ja vain jos

${\displaystyle \exists m\in S;\forall x\in S:x\leq m}$,

eli jos joukossa S on alkio, jonka arvo on m, ja se on alkioista suurin. Erityisesti, jos joukolla on olemassa suurin alkio, joukon maksimi on sama kuin joukon supremum; ${\displaystyle \max(S)=\operatorname {sup} _{S}\ }$

Kaikissa joukoissa ei ole maksimia; esimerkiksi joukossa

${\displaystyle S=\{x\in \mathbb {R} |1\leq x<3\}}$

on pienin alkio, mutta siinä ei ole suurinta alkiota. Sen sijaan joukolla on infimum (suurin alaraja) ja supremum (pienin yläraja).

Kahdelle reaaliluvulle maksimi voidaan laskea kaavalla:

${\displaystyle \max\{a,b\}={\frac {a+b+|a-b|}{2}}}$.

Käyttämällä kaavaa rekursiivisesti voidaan laskea myös usean reaaliluvun maksimi.

Funktion ${\displaystyle f\ }$ maksimi on suurin luvuista ${\displaystyle f(x)\ }$, missä ${\displaystyle x\ }$ on funktion määrittelyjoukko.

Funktion paikallinen eli lokaali maksimi tarkoittaa hetkellistä suurinta arvoa, jonka funktio saavuttaa jollain argumentin arvoalueella. Esimerkiksi jos lampun valovoimakkuus vaihtelee ajan funktiona niin että se vuoroin kirkastuu, vuoroin himmenee, niin sen kirkkaus on paikallisessa maksimissaan aina silloin, kun lamppu loistaa kirkkaimmillaan.

• Minimi
• Infimum
• Supremum
• Ääriarvo

• Lipschutz, Seymour: Set Theory and Related Topics. McGraw-Hill, 1964. ISBN 0-07-037986-6.