Massadistribuutio
![]() | Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan. |
Massadistribuutio on mittateorian käsite, jonka avulla voidaan kuvata "massan" jakautumista joukoissa.
Määritelmä
Olkoon mitta-avaruus varustettuna topologialla ja . Nyt mitta on massadistribuutio joukossa F, jos
- Perusjoukko X on äärellis- ja positiivimittainen, eli
- Mitan kantaja sisältyy joukkoon F, eli
Tässä ajatellaan, että valitsemme äärellisen määrän massaa ja levitämme sen joukkoon F, jolloin saamme massan jakauman joukossa F. Triviaalisti jokainen mitta, joka toteuttaa ehdon 1. on aina massadistribuutio koko perusjoukossa X sillä kantaja on suoraan määritelmän nojalla aina X:n osajoukko.
Esimerkkejä
- Olkoon väli [0,1] tasossa. Määritellään kuvaus kaavalla
missä on 1-ulotteinen Lebesguen mitta ja joukko tulkitaan tason sijasta lukusuoran osajoukoksi. Tällöin Lebesguen mitan ominaisuuksista seuraa, että on mitta. Lisäksi koska ja kantaja , niin on massadistribuutio joukossa .
Energia
Avaruudessa massadistribuution liittyy oleellisesti potentiaaliteoreettiset käsitteet s-potentiaali ja s-energia. Niiden avulla voidaan mittateoriassa muun muassa arvioida fraktaalien Hausdorffin dimensiota.
Määritellään, että jos , ja massadistribuutio :ssä, niin massadistribuution s-potentiaali pisteessä on luku
missä integraali on massadistribuution määräämä mittaintegraali. Tapauksessa ja tämä kaava antaa tavallisen Newtonin gravitaatiopotentiaalin.
Vastaavasti massadistribuution s-energia on luku
eli toisin sanoen
Esimerkiksi voidaan osoittaa, että jos ja on olemassa massadistribuutio joukossa F siten, että , niin Hausdorffin mitta ja dimensio