Pienin yhteinen jaettava

Kahden tai useamman kokonaisluvun pienin yhteinen jaettava eli pienin yhteinen monikerta^[1], p.y.j., on matematiikassa pienin kokonaisluku, joka on tasan jaollinen kyseessä olevilla luvuilla. Käytännössä p.y.j. ilmaantuu esimerkiksi murtolukujen yhteen- ja vähennyslaskussa (ks. esimerkki alla). Se on mahdollista määrätä jakamalla luvut alkutekijöihinsä ja kertomalla niiden tekijöiden korkeimmat potenssit.

Formaalisti kahden luonnollisen luvun a ja b pienin yhteinen jaettava, pyj(a,b) = m, on pienin sellainen luku, jota kohti on olemassa sellaiset luonnolliset luvut ${\displaystyle n_{a}}$ ja ${\displaystyle n_{b}}$, että

${\displaystyle n_{a}\cdot a=n_{b}\cdot b=m}$.

Siis jos

${\displaystyle a=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\cdot \cdot \cdot p_{n}^{a_{n}}}$

${\displaystyle b=p_{1}^{b_{1}}p_{2}^{b_{2}}\cdot \cdot \cdot p_{n}^{b_{n}}}$,

missä ${\displaystyle p_{i}}$ on i:s alkuluku ja jos ${\displaystyle p_{i}}$ ei ole luvun tekijä, sitä vastaava eksponentti ${\displaystyle a_{i}}$ tai ${\displaystyle b_{i}}$ on nolla, saadaan pyj-kaavaksi

${\displaystyle \operatorname {pyj} (a,b)=p_{1}^{\max(a_{1},b_{1})}p_{2}^{\max(a_{2},b_{2})}\cdot \cdot \cdot p_{n}^{\max(a_{n},b_{n})}}$

Esimerkki:

• Lukujen 18 ja 20 p.y.j.

${\displaystyle 18=2\cdot 3^{2}}$

${\displaystyle 20=2^{2}\cdot 5}$

${\displaystyle \operatorname {pyj} (18,20)=2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5=180}$.

Huomaa, että ${\displaystyle {\frac {180}{18}}=10}$ ja ${\displaystyle {\frac {180}{20}}=9}$, eli pyj on jaollinen luvuilla 18 ja 20. Lisäksi jos joku luku on jaollinen luvuilla 18 ja 20, se on jaollinen myös luvulla 180. Esimerkiksi 18 · 20 = 360 = 2 · 180

---

• Lukujen 26 ja 28 p.y.j.

${\displaystyle 26=2\cdot 13}$

${\displaystyle 28=2^{2}\cdot 7}$

${\displaystyle \operatorname {pyj} (26,28)=2^{2}\cdot 7\cdot 13=364}$

---

• Pienintä yhteistä jaettavaa voidaan hyödyntää murtolukujen yhteenlaskussa.

${\displaystyle {\frac {1}{18}}+{\frac {1}{20}}}$

Lasketaan ensin pyj(18,20) = 180. Lavennetaan tämän jälkeen murtoluvut samannimisiksi, eli että kummankin nimittäjä on 180. Kerroin saadaan jakamalla pyj nimittäjällä: 180/18=10, 180/20=9.

${\displaystyle {\frac {1}{18}}+{\frac {1}{20}}={\frac {10}{180}}+{\frac {9}{180}}={\frac {19}{180}}}$

Voidaan osoittaa, että luonnollisille luvuille n ja p pätee:

${\displaystyle n\cdot p=\operatorname {syt} (n,p)\cdot \operatorname {pyj} (n,p)}$

• Rosen, Kenneth H.: Elementary Number Theory and Its Applications, s. 72. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, 1984. ISBN 0-201-06561-4. (englanniksi)

• Aito jakaja
• Suurin yhteinen tekijä
• Yhteinen tekijä