Pinta-alavektori

Pinta-alavektori tai suunnattu pinta-ala on rajoitetulle tasopinnalle määriteltävä vektorisuure, jonka suunta on pintaa vastaan kohtisuorassa ja jonka suuruus on pinnan pinta-ala. Jos tasopinnan pinta-ala on ${\textstyle A}$ ja sillä on yksikkönormaali (pintaa vastaan kohtisuora yksikkövektori) ${\textstyle \mathbf {\hat {n}} }$, niin sen pinta-alavektori on

${\displaystyle \mathbf {S} =A\,\mathbf {\hat {n}} }$.^[1][2]

Pinta-alavektori voidaan määritellä myös muille kuin tasomaisille pinnoille. Jos pinta ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subset \mathbb {R} ^{3}}$ on sileä, sille voidaan määrittää jokaisessa pisteessä kaksi yksikkönormaalia, ${\textstyle \mathbf {\hat {n}} _{1}}$ ja ${\textstyle \mathbf {\hat {n}} _{2}}$, jotka ovat toistensa vastavektorit (${\textstyle \mathbf {\hat {n}} _{1}=-\mathbf {\hat {n}} _{2}}$). Pinta on suunnistettu, kun yksikkönormaaliksi valitaan toinen näistä vektorikentistä ${\textstyle \mathbf {\hat {n}} _{1}:{\mathcal {S}}\to \mathbb {R} ^{3}}$ tai ${\textstyle \mathbf {\hat {n}} _{2}:{\mathcal {S}}\to \mathbb {R} ^{3}}$.^[3] Tällöin pinnalle kiinnittyy myös positiivinen kiertosuunta: jos pinnan reunakäyrää pitkin kulkemalla pinta on koko ajan vasemmalla puolella, on kyseinen puoli pinnan positiivinen puoli.^[4]

Jos ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{2}}$on avoin joukko ja pinnalla ${\textstyle {\mathcal {S}}}$ on parametriesitys ${\textstyle {\mathcal {S}}=\mathbf {r} (U)}$ jokaisessa pisteessä ${\textstyle \mathbf {x} =\mathbf {r} (\mathbf {u} )\in {\mathcal {S}}}$, niin pinnan yksikkönormaalit ovat

${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} _{1,2}(\mathbf {x} )=\pm {\frac {{\frac {\partial \mathbf {r} (\mathbf {u} )}{\partial x_{1}}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} (\mathbf {u} )}{\partial x_{2}}}}{\left\Vert {\frac {\partial \mathbf {r} (\mathbf {u} )}{\partial x_{1}}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} (\mathbf {u} )}{\partial x_{2}}}\right\Vert }}}$.^[3][5]

Mikäli pinta ${\textstyle {\mathcal {S}}}$ voidaan esittää funktion ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ,~f(x,y)=z}$ kuvaajan avulla, ovat yksikkönormaalit

${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} _{1,2}(x,y)=\pm {\frac {-\mathbf {i} {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)-\mathbf {j} {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)+\mathbf {k} }{\sqrt {1+\left({\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)\right)^{2}}}}}$.^[3][5]

Etumerkki ${\textstyle +}$ vastaa suunnistetun pinnan positiivisen puolen yksikkönormaalia.^[5]

Myös paloittain sileät rajoitetut pinnat voidaan suunnistaa edellä esitettyjen yksikkönormaalien avulla. Tällöin pinnan ${\textstyle {\mathcal {S}}}$ pitää olla muotoa

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\left(\bigcup _{k=1}^{m}{\mathcal {S}}_{k}\right)\cup {\mathcal {S}}_{0}}$,

missä joukot ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{k}}$ ovat keskenään pistevieraita ja ${\textstyle {\mathcal {S}}_{0}}$ sisältyy äärellisen monen sileän Jordanin käyrän yhdisteeseen. Pinta ${\textstyle {\mathcal {S}}}$ on tällöin suunnistuva, jos jokaisen osan ${\textstyle {\mathcal {S}}_{1},\dots ,{\mathcal {S}}_{m}}$ reuna on paloittain sileä umpinainen Jordanin käyrä. Tällöin pinta ${\textstyle {\mathcal {S}}}$ on suunnistettu, jos osat ${\textstyle {\mathcal {S}}_{1},\dots ,{\mathcal {S}}_{m}}$ suunnistetaan siten, että kahden eri osan positiiviset kiertosuunnat ovat vastakkaiset niiden yhteisellä reunakäyrällä.^[6]

Möbiuksen nauha on hyvä esimerkki pinnasta, joka ei ole suunnistuva, koska sillä on vain yksi puoli.^[4]

Jos ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{2}}$ on avoin joukko ja ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subset \mathbb {R} ^{3}}$ on suunnistuva pinta, joka voidaan esittää parametrien ${\textstyle u}$ ja ${\textstyle v}$ avulla ${\textstyle \mathbf {r} :U\to \mathbb {R} ^{3},~\mathbf {r} (u,v)}$, niin pinnalle ${\textstyle {\mathcal {S}}}$ voidaan määritellä jokaisessa sen pisteessä differentiaalinen pintaelementtivektori

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} =\mathbf {\hat {n}} \,\mathrm {d} S=\pm \left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}\right)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}$,

missä ${\textstyle \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {\hat {n}} _{1}}$ tai ${\textstyle \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {\hat {n}} _{2}}$ riippuen pinnan suunnistuksessa tehdystä valinnasta. ${\textstyle \mathrm {d} S=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}\right|\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}$ on pinnan differentiaalinen pinta-ala-alkio.^[5]

Mikäli pinta ${\textstyle {\mathcal {S}}}$ voidaan esittää implisiittisesti funktion ${\textstyle G(x,y,z)=0}$ kuvaajana, voidaan pintaelementtivektori kirjoittaa

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} =\pm {\frac {\nabla G(x,y,z)}{G_{3}(x,y,z)}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$,

missä ${\textstyle G_{3}}$ on vektorin ${\textstyle \nabla G}$ ${\textstyle z}$-komponentti.^[5] Ts. ${\textstyle G_{3}(x,y,z)=\nabla G(x,y,z)\cdot \mathbf {k} }$. Etumerkki ${\textstyle \pm }$ valitaan siten, että pinnan ${\textstyle {\mathcal {S}}}$ suunnistus on haluttu. Esimerkiksi jos ${\textstyle G_{3}>0}$ ja pinnan positiivisen puolen halutaan olevan positiivisen ${\textstyle z}$-akselin suuntaan, valitaan etumerkki ${\textstyle +}$.^[5]

Mikäli pinta ${\textstyle {\mathcal {S}}}$ voidaan esittää funktion ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ,~f(x,y)=z}$ kuvaajana, voidaan pintaelementtivektori kirjoittaa

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} =\pm \left(-\mathbf {i} {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)-\mathbf {j} {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)+\mathbf {k} \right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$,

missä etumerkki ${\textstyle \pm }$ valitaan kuten edellä.^[5]

Suorakulmio makaa ${\textstyle xy}$-tasossa siten, että sitä rajoittavat suorat ${\textstyle x=0}$, ${\textstyle x=a}$, ${\textstyle y=0}$ ja ${\textstyle y=b}$ (${\displaystyle a,b>0}$). Suorakulmio on taso, jota kuvaa funktio ${\displaystyle f:[0,a]\times [0,b]\to \mathbb {R} ,~f(x,y)=0}$. Näin ollen sen yksikkönormaalit ovat

${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} _{1,2}(x,y)=\pm {\frac {-\mathbf {i} {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)-\mathbf {j} {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)+\mathbf {k} }{\sqrt {1+\left({\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)\right)^{2}}}}=\pm \mathbf {k} }$.

Jos valitaan pinnan positiiviseksi puoleksi positiivisen ${\textstyle z}$-akselin puoli, on suunnistetun pinnan yksikkönormaali ${\textstyle \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {k} }$. Pinta-alavektori on tällöin

${\displaystyle \mathbf {S} =A\,\mathbf {\hat {n}} =ab\,\mathbf {k} }$.

Tarkastellaan ${\textstyle \mathbb {R} ^{3}}$:n vektoreita ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ja ${\displaystyle \mathbf {b} }$. Mikäli nämä vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia (eli ei-yhdensuuntaisia), ne virittävät suunnikkaan, jonka sivujen pituudet ovat ${\displaystyle \|\mathbf {a} \|}$ ja ${\displaystyle \|\mathbf {b} \|}$. Vektorien välillä on mitattavissa kulma ${\displaystyle \theta \in \,]0,\pi [}$. Suunnikkas on pinta, jolla on parametriesitys ${\displaystyle \mathbf {r} (u,v)=u\mathbf {a} +v\mathbf {b} }$, missä ${\displaystyle 0\leq u\leq 1}$ ja ${\displaystyle 0\leq v\leq 1}$. Suunnikkaan yksikkönormaalit ovat tällöin

${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} _{1,2}(u,v)=\pm {\frac {{\frac {\partial \mathbf {r} (u,v)}{\partial u}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} (u,v)}{\partial v}}}{\left\Vert {\frac {\partial \mathbf {r} (u,v)}{\partial u}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} (u,v)}{\partial v}}\right\Vert }}=\pm {\frac {\mathbf {a} \times \mathbf {b} }{\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|}}}$.

Vektorien ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ja ${\displaystyle \mathbf {b} }$ virittämän suunnikkaan pinta-ala on

${\displaystyle A=\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|\sin \theta }$.

Positiivisen puolen valinnasta riippuen suunnikkaan pinta-alavektori on tällöin

${\displaystyle \mathbf {S} =A\,\mathbf {\hat {n}} =\pm \|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|\sin \theta \,{\frac {\mathbf {a} \times \mathbf {b} }{\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|}}}$.

Toisaalta ristitulon määritelmän mukaan ${\displaystyle \|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|=\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|\sin \theta }$, joten

${\displaystyle \mathbf {S} =\pm \mathbf {a} \times \mathbf {b} }$.

Suunnistus määrää lopulta yksikkönormaalin suunnan, mutta valitsemalla ristitulovektorin suunta positiiviseksi puoleksi saadaan

${\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {a} \times \mathbf {b} }$.

${\textstyle R}$-säteisen, origokeskisen pallon pintaa kuvaa karteesisissa koordinaateissa yhtälö ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}}$. Muodostetaan pallopinta ${\textstyle {\mathcal {S}}}$ siten, että se koostuu kahdesta puolikkaasta, avoimesta puolipallon pinnasta ${\textstyle {\mathcal {S}}_{1}}$ (yläpuoli, jossa ${\textstyle z>0}$) ja ${\textstyle {\mathcal {S}}_{2}}$(alapuoli, jossa ${\textstyle z<0}$) sekä näitä yhdistävästä ${\textstyle R}$-säteisestä ympyrärenkaasta ${\textstyle {\mathcal {S}}_{0}}$. Tällöin ${\textstyle {\mathcal {S}}={\mathcal {S}}_{1}\cup {\mathcal {S}}_{2}\cup {\mathcal {S}}_{0}}$ ja se on paloittain sileänä pintana suunnistuva. Kiinnitetään pinnan positiivinen puoli pallon ulkopuolelle.

Geometrian kannalta on hyödyllistä parametrisoida pinta käyttäen pallokoordinaattikuvausta

${\displaystyle {\begin{cases}x=R\cos \phi \cos \theta \\y=R\sin \phi \cos \theta \\z=R\sin \theta ,\end{cases}}}$

missä ${\displaystyle \phi \in \left]0,2\pi \right[}$ ja ${\displaystyle \theta \in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[}$.^[7]

Pinnan ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ parametriesitys on

${\displaystyle \mathbf {r} (\phi ,\theta )=R\cos \phi \cos \theta \,\mathbf {i} +R\sin \phi \cos \theta \,\mathbf {j} +R\sin \theta \,\mathbf {k} }$.

Pintaelementtivektori on tällöin

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \mathbf {S} &=\pm \left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \phi }}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right)\,\mathrm {d} \phi \,\mathrm {d} \theta \\&=\pm \left((-R\sin \phi \cos \theta \,\mathbf {i} +R\cos \phi \cos \theta \,\mathbf {j} )\times (-R\cos \phi \sin \theta \,\mathbf {i} -R\sin \phi \sin \theta \,\mathbf {j} +R\cos \theta \,\mathbf {k} )\right)\,\mathrm {d} \phi \,\mathrm {d} \theta \\&=\pm \left(R^{2}\cos \phi \cos ^{2}\theta \,\mathbf {i} +R^{2}\sin \phi \cos ^{2}\theta \,\mathbf {j} +R^{2}\sin \theta \cos \theta \,\mathbf {k} \right)\,\mathrm {d} \phi \,\mathrm {d} \theta \\&=\pm \left(\cos \phi \cos \theta \,\mathbf {i} +\sin \phi \cos \theta \,\mathbf {j} +\sin \theta \,\mathbf {k} \right)R^{2}\cos \theta \,\mathrm {d} \phi \,\mathrm {d} \theta \end{aligned}}}$

Koska ${\displaystyle \Vert \cos \phi \cos \theta \,\mathbf {i} +\sin \phi \cos \theta \,\mathbf {j} +\sin \theta \,\mathbf {k} \Vert =1}$, niin vektori ${\displaystyle \cos \phi \cos \theta \,\mathbf {i} +\sin \phi \cos \theta \,\mathbf {j} +\sin \theta \,\mathbf {k} }$ kelpaa yksikkönormaaliksi. Valitsemalla positiivinen etumerkki saadaan pinnan ulkopuolelle osoittava yksikkönormaali. Merkitään ${\displaystyle \cos \phi \cos \theta \,\mathbf {i} +\sin \phi \cos \theta \,\mathbf {j} +\sin \theta \,\mathbf {k} =\mathbf {\hat {e}} }$. Siis pallopinnan ${\textstyle {\mathcal {S}}}$ pintaelementtivektori jokaisessa pinnan pisteessä on

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \mathbf {S} &=(\cos \phi \cos \theta \,\mathbf {i} +\sin \phi \cos \theta \,\mathbf {j} +\sin \theta \,\mathbf {k} )R^{2}\cos \theta \,\mathrm {d} \phi \,\mathrm {d} \theta \\&=R^{2}\cos \theta \,\mathrm {d} \phi \,\mathrm {d} \theta \,\mathbf {\hat {e}} .\end{aligned}}}$

• Pinta (geometria)
• Pinta-ala
• Pintaintegraali
• Suunnattu derivaatta