Tiheysmatriisi

Tiheysmatriisi kuvaa kvanttisysteemin tilaa yleisemmin kuin pelkkä aaltofunktio, sillä se sallii myös sekoitetut tilat. Tiloja, joita voidaan kuvata pelkällä aaltofunktioilla sanotaan puhtaiksi. Tiheysmatriisin käsitettä käytetään erityisesti jollain tapaa avoimissa systeemeissä, joissa perussysteemin ympäristöllä on vaikutusta perussysteemin dynamiikkaan. Tiheysmatriisin avulla kvanttimekaniikasta voidaan myös johtaa useita tilastollisen fysiikan ja termodynamiikan käsitteitä.

Oletetaan, että kvanttisysteemiä kuvaa enintään numeroituva joukko ominaistiloja ${\displaystyle |i\rangle }$. Tällöin sen tiheysmatriisi on yleisesti muotoa

${\displaystyle \rho =\sum _{ij}w_{ij}|i\rangle \langle j|,}$

missä ${\displaystyle w_{ij}}$ ovat kompleksikertoimia. Tiheysmatriisi on hermiittinen ja normalisoituva. Toisin sanoen

${\displaystyle w_{ij}^{*}=w_{ji}}$

ja

${\displaystyle {\rm {Tr}}[\rho ]=\sum _{i}w_{ii}=1,}$

missä Tr on matriisin jälki. Tiheysmatriisin diagonaalialkiot ${\displaystyle w_{ii}}$ kuvaavat tilojen ${\displaystyle |i\rangle }$ todennäköisyyksiä, ja ei-diagonaalialkiot tilojen välisiä koherensseja.

Observaabelin ${\displaystyle O}$ odotusarvo ${\displaystyle \langle O\rangle }$ voidaan laskea tiheysmatriisista käyttäen kaavaa

${\displaystyle \langle O\rangle ={\rm {Tr}}[\rho {\hat {O}}]=\sum _{ij}w_{ij}O_{ji},}$

missä ${\displaystyle O_{ji}}$ on operaattorin ${\displaystyle {\hat {O}}}$ matriisielementti.

Tiheysmatriisi toteuttaa Liouvillen yhtälön

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\rho (t)=[H,\rho ],}$

missä ${\displaystyle \hbar }$ on Diracin vakio ja ${\displaystyle H}$ on systeemin Hamiltonin operaattori. Avoimissa systeemeissä kiinnostavan osasysteemin tiheysmatriisia tutkittaessa saadaan yllä olevaan yhtälöön ympäristöä kuvaava lisätermi. Tuon lisätermin avulla voidaan tutkia mm. kvanttisysteemin relaksaatiota ja vaihekoherenssin menetystä.

• Schrödingerin kuva
• Heisenbergin kuva