Ulkomitta on mittateoriassa esiintyvä funktio, jonka avulla halutaan luoda mittoja.[1] [2]
Määritelmä
Olkoon
joukko. Kuvaus
on ulkomitta jos ja vain jos se toteuttaa seuraavat kolme ehtoa:
- Tyhjälle joukolle pätee
[1] - Jos
, niin
[1] - Jos
kaikilla
, niin
. [1]
Ehtoa (2) kutsutaan yleensä monotonisuudeksi tai kasvavuudeksi ja ehtoa (3) subadditiivisuudeksi. [1]
Joukon mitallisuus
Jos
on ulkomitta
:ssä, niin joukkoa
kutsutaan
-mitalliseksi jos ja vain jos kaikilla
pätee
. Tätä ehtoa kutsutaan kirjallisuudessa usein Carathéodoryn ehdoksi.
Mitallisuus säilyy komplementoinnissa ja numeroituvissa yhdisteissä. Lisäksi tyhjä joukko on riippumatta ulkomitasta aina mitallinen. Näin ollen itse asiassa mielivaltaisen ulkomitan suhteen mitalliset joukot muodostavat sigma-algebran. Tälle perheelle käytetään joissain lähteissä merkintää
missä X ilmaisee perusjoukon ja
joukossa annetun ulkomitan.
Ulkomitan ominaisuuksia
Jos
ovat
-mitallisia joukkoja, niin
. Jos
ovat
-mitallisia joukkoja ja
, niin
. Jos joukot
,
, ovat
-mitallisia ja erillisiä, niin
. Viimeisimmästä ominaisuudesta seuraa
Carathéodoryn lause
Carathéodoryn lause lause sanoo, että jos
on ulkomitta, niin sen rajoittuma
-mitallisiin joukkoihin eli funktio
on mitta X:ssä.
Erityisiä ulkomittoja
- Ulkomittaa sanotaan täydelliseksi jos ja vain jos jokaisen nollamittaisen joukon osajoukko on mitallinen tämän ulkomitan suhteen. Voidaan osoittaa, että jokainen ulkomitta voidaan täydellistää täydelliseksi ulkomitaksi.
- Ulkomitta
on säännöllinen jos ja vain jos jokaisella
on olemassa
-mitallinen joukko
s.e.
ja
. Jos vielä
, niin voidaan osoittaa, että säännöllisellä ulkomitalla edellä mainittu mitallisuuskriteeri suppenee muotoon: joukko
on
-mitallinen jos ja vain jos
.
- Jos
on metrinen avaruus, niin joukon X ulkomittaa
sanotaan metriseksi jos ja vain jos ehdosta
seuraa ominaisuus
kaikilla
. Metriset mitat karakterisoivat Borel-ulkomitat. Voidaan osoittaa, että ulkomitta on metrinen jos ja vain jos se on Borel.
Tärkeimpiä esimerkkejä säännöllisistä metrisistä ulkomitoista ovat mm. Hausdorffin mitan ja Lebesguen mitan konstruktioissa esiintyvät ulkomitat.
Funktion mitallisuus
Jos
on ulkomitta joukossa X ja
, niin funktio
on
-mitallinen jos ja vain jos avointen joukkojen alkukuvat kuvauksessa f ovat
-mitallisia. Toisin sanoen joukot
,
ja
ovat
-mitallisia kaikilla avoimilla joukoilla
.
Funktion mitallisuus voidaan myös karakterisoida seuraavasti: funktio f on
-mitallinen jos ja vain jos joukko
![{\displaystyle \lbrace x\in A:f(x)>c\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9232287233f00eed3d288daa59ab6d06a10607f8)
on
-mitallinen kaikilla
.
Katso myös
Lähteet
- ↑ a b c d e Jalava, Väinö: Moderni analyysi I, s. 44–48. Tampere: Tampereen teknillinen korkeakoulu, 1976. ISBN 951-720-223-7.
- ↑ Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 266. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.