Équation de Schröder
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L'équation de Schröder[1] est une équation fonctionnelle à une variable, Elle porte le nom du mathématicien Ernst Schröder.
Soit une fonction h et une constante s telle que s ≠ 0 et s ≠ 1, trouver la fonction f telle que:
L'équation de Schröder est l'équation de la valeur propre de l'opérateur de composition Ch qui associe une fonction f à la fonction composée f • h. Elle joue un rôle fondamental dans le domaine des équations fonctionnelles : c'est une simple équation linéaire et ses solutions servent souvent dans la construction de solutions à des équations plus compliquées [2]. Elle peut servir pour calculer des racines carrées fonctionnelles.
Solutions
Applications
Linéarisation d'équation fonctionnelles
Soit une équation fonctionnelle linéaire de la forme : où f: I → I est inconnue, g, h, F sont connues et g(I) inclus dans I.
Si la fonction σ est solution de l'équation de Schröder pour la fonction g et la constante s, alors le changement de variable : mène à l'équation suivante, plus simple à résoudre[2] :
Avec .
Relation avec d'autres équations fonctionnelles
L'équation de Schröder fait partie de la famille des conjugacy equations (« équations de conjugaison »)[2] de la forme : au même titre que les équations d'Abel et de Böttcher.
Voir aussi
- Équation fonctionnelle
- Composition de fonctions
- Itération
- Racine carrée fonctionnelle
Références
- Portail de l'analyse