Cet article est une ébauche concernant la physique théorique.
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L’équation de Schwinger-Dyson, d'après Julian Schwinger et Freeman Dyson, est une équation de la théorie quantique des champs.
Dérivation
Étant donné une fonction bornée F sur les configurations du champ, alors pour tout vecteur d'état
(qui est solution de la théorie quantique des champs), il y a :
![{\displaystyle \left\langle \psi \left|{\mathcal {T}}\left\{{\frac {\delta }{\delta \phi }}F[\phi ]\right\}\right|\psi \right\rangle =-i\left\langle \psi \left|{\mathcal {T}}\left\{F[\phi ]{\frac {\delta }{\delta \phi }}S[\phi ]\right\}\right|\psi \right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06f809d53eb920444062b5d2de3d33b45ebc1a60)
avec S la fonctionnelle d'action et
l'opérateur d'ordonnation du temps.
D'une même manière, dans la formulation de la matrice densité, pour tout état (valide)
, il y a :
![{\displaystyle \rho \left({\mathcal {T}}\left\{{\frac {\delta }{\delta \phi }}F[\phi ]\right\}\right)=-i\rho \left({\mathcal {T}}\left\{F[\phi ]{\frac {\delta }{\delta \phi }}S[\phi ]\right\}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dca07f9624b9c0cbe331433e1520a3646bd88540)
Cet ensemble infini d'équations peut être utilisé pour résoudre les fonctions de corrélation, sans utiliser une approche perturbative.
On peut également réduire l'action S en la séparant :
![{\displaystyle S[\phi ]={\frac {1}{2}}D_{ij}^{-1}\phi ^{i}\phi ^{j}+S_{int}[\phi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f596441c43cf03b6975930ef4078b6a3dd042902)
Le premier terme est la composante quadratique et
un tenseur covariant symétrique et réversible (antisymétrique pour les fermions) de rang 2 dans la notation de deWitt. Les équations peuvent être réécrites ainsi :
![{\displaystyle \langle \psi |{\mathcal {T}}\{F\phi ^{j}\}|\psi \rangle =\langle \psi |{\mathcal {T}}\{iF_{,i}D^{ij}-FS_{int,i}D^{ij}\}|\psi \rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b8b1cc097996deeb15edd2b641b10761470d401)
Si F est une fonctionnelle de φ, alors pour un opérateur K, F[K] est définie comme un opérateur qui remplace K par φ. Par exemple, si
![{\displaystyle F[\phi ]={\frac {\partial ^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}}}\phi (x_{1})\cdots {\frac {\partial ^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}}}\phi (x_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/380681744b427fb7ca61b3058f2c68e3f33295e2)
et que G est une fonction de J, alors :
.
S'il y a une fonction analytique Z (appelée fonctionnelle génératrice) de J (appelée champ source) satisfaisant l'équation :
,
alors l'équation de Schwinger-Dyson pour la génératrice Z est :
![{\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta \phi (x)}}\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]+J(x)Z[J]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3925da1f9d96cc1d1efffd62f3e0c9449eb2e09c)
En développant cette équation en série de Taylor pour J proche de 0, le jeu entier des équations de Schwinger-Dyson est obtenu.
Notes et références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Schwinger–Dyson equation » (voir la liste des auteurs).
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