Bicatégorie

En mathématiques, les bicatégories (aussi appelées 2-catégories faibles) sont une généralisation des catégories utilisées pour traiter les cas où la composition des morphismes n'est pas (strictement) associative, mais uniquement associative à isomorphisme près. Cette notion est introduite en 1967 par Jean Bénabou.

Les bicatégories peuvent être considérées comme un affaiblissement des 2-catégories. De manière similaire on obtient, par affaiblissement des 3-catégories, les tricatégories, et plus généralement, on peut obtenir les n-catégories faibles en affaiblissant les n -catégories.

Formellement, une bicatégorie ${\displaystyle \mathbf {B} }$ se compose de :

• objets, souvent notés ${\displaystyle a,b...}$, appelées 0-cellules ;
• morphismes, souvent notés ${\displaystyle f,g...}$, ayant chacun des objets source et cible fixes, appelés 1-cellules ;
• "morphismes entre morphismes", souvent notés ${\displaystyle \rho ,\sigma ...}$, ayant chaucun des morphismes source et cible fixes (qui doivent eux-mêmes avoir la même source et la même cible), appelés 2-cellules;

avec un peu plus de structure :

• étant donné deux objets ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$, il existe une catégorie ${\displaystyle \mathbf {B} (a,b)}$ dont les objets sont les 1-cellules et les morphismes les 2-cellules. La composition de cette catégorie est appelée composition verticale;
• étant donné trois objets ${\displaystyle a,b,c}$, il existe un bifoncteur ${\displaystyle *:\mathbf {B} (b,c)\times \mathbf {B} (a,b)\to \mathbf {B} (a,c)}$ appelée composition horizontale.

La composition horizontale doit être associative à isomorphisme naturel près, i.e si ${\displaystyle f,g,h}$ sont des morphismes, alors il existe un isomorphisme naturel ${\displaystyle \alpha }$ tel que ${\displaystyle h*(g*f)=\alpha ((h*g)*f)}$. Certains axiomes de cohérence supplémentaires, similaires à ceux nécessaires pour les catégories monoïdales, doivent en outre être vérifiés : une catégorie monoïdale est en fait une bicatégorie contenant une unique 0-cellule.

Soit une catégorie monoïdale simple, telle que le préordre monoïdal ${\displaystyle \mathbf {Bool} }$^[1] basé sur le monoïde ${\displaystyle M=(\lbrace V,F\rbrace ,\land ,V)}$ par exemple. En tant que catégorie, elle a deux objets ${\displaystyle V,F}$ (Vrai et Faux) et un seul morphisme ${\displaystyle g\colon F\to V}$.

Nous pouvons réinterpréter ce monoïde comme une bicatégorie ayant un seul objet ${\displaystyle x}$ (une 0-cellule) ; cette construction est analogue à la construction d'une catégorie à partir d'un monoïde. Les objets ${\displaystyle V,F}$ deviennent des morphismes, et le morphisme ${\displaystyle g}$ devient une transformation naturelle (formant une catégorie fonctrice pour la seule hom-catégorie ${\displaystyle \mathbf {B} (x,x)}$).

• J. Bénabou. "Introduction to bicategories, part I". Dans Reports of the Midwest Category Seminar, Notes de cours en mathématiques 47, pages 1 à 77. Springer, 1967.

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