Correspondance de Jacquet-Langlands

En mathématiques, la correspondance de Jacquet-Langlands est une correspondance entre les formes automorphes du GL₂ et ses formes elliptiques, prouvée par Hervé Jacquet et Robert Langlands notamment grâce à la Formule des traces de Selberg. Ce fut l'un des premiers exemples de la philosophie de Langlands qui conjecture que les applications entre L-groupes induisent des applications entre représentations automorphes. Il existe des versions généralisées de cette première correspondance de Jacquet-Langlands qui relie les représentations automorphes de GL_r(D) et GL_dr(F), où D est une algèbre à division de degrée d² sur le corps local ou global F.

Soit G une forme intérieure du groupe algébrique GL₂, i.e. le groupe multiplicatif d'une algèbre de quaternions. La correspondance de Jacquet-Langlands est une bijection entre

• les formes automorphes de G de dimension supérieure à 1
• les représentations automorphes cuspidales de GL₂ qui sont de carré intégrable (modulo le centre) en chaque place de ramification de G

De plus, les représentations correspondantes ont mêmes caractères, et mêmes composantes locales à chaque place de ramification.

Rogawski en 1983 et Deligne-Kazhdan-Vignéras en 1984 ont étendu la correspondance de Jacquet-Langlands au cas des algèbres à division de dimensions supérieures.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Jacquet–Langlands correspondence » (voir la liste des auteurs).
• Deligne, Kazhdan et Vignéras, Représentations des groupes réductifs sur un corps local, Paris, Hermann, 1984 (ISBN 978-2-7056-5989-9), p. 33–117
• (en) Henniart, International Congress of Mathematicians. Vol. II, Eur. Math. Soc., Zürich, 2006, 1171–1182 p. (ISBN 978-3-03719-022-7, lire en ligne), « On the local Langlands and Jacquet-Langlands correspondences »
• (en) Robert Langlands, Automorphic forms on GL(2), vol. 114, Berlin, New York, Springer-Verlag, coll. « Lecture Notes in Mathematics », 1970 (ISBN 978-3-540-04903-6, lire en ligne)
• Rogawski, Representations of GL(n) and division algebras over a p-adic field, vol. 50, coll. « Duke Mathematical Journal », 1983, 161–196 p. (ISSN 0012-7094, DOI 10.1215/s0012-7094-83-05006-8, lire en ligne), chap. 1

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