Crochet de Rankin-Cohen

Le crochet de Rankin-Cohen est une opération mathématique qui associe, à de deux formes modulaires, une autre forme modulaire ; cette opération généralise le produit de deux formes modulaires. Robert Alexander Rankin a donné en 1956 et 1957^[1],[2] des conditions générales pour que des polynômes en des dérivées de formes modulaires soient eux-mêmes des formes modulaires, et Henri Cohen (1975)^[3] a donné des exemples explicites de tels polynômes qui produisent des crochets de Rankin-Cohen. Ces crochets ont été nommés ainsi par Zagier (1994)^[4], qui a introduit les algèbres de Rankin–Cohen comme cadre abstrait pour les crochets de Rankin–Cohen.

Soient ${\displaystyle f(\tau )}$ et ${\displaystyle g(\tau )}$ des formes modulaires respectivement de poids ${\displaystyle k}$ et ${\displaystyle h}$; leur ${\displaystyle n}$^ième crochet de Rankin–Cohen ${\displaystyle [f,g]_{n}}$ est donné par :

${\displaystyle [f,g]_{n}={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\sum _{r+s=n}(-1)^{r}{\binom {k+n-1}{s}}{\binom {h+n-1}{r}}{\frac {\mathrm {d} ^{r}f}{\mathrm {d} \tau ^{r}}}{\frac {\mathrm {d} ^{s}g}{\mathrm {d} \tau ^{s}}}\ .}$

C'est une forme modulaire de poids ${\displaystyle k+h+2n}$ . Le facteur ${\displaystyle (2\pi i)^{n}}$ en tête de l'expression fait que les coefficients de ${\displaystyle q}$-développements de ${\displaystyle [f,g]_{n}}$ sont rationnels si ceux de ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle g}$ le sont. Les dérivées ${\displaystyle d^{r}f/d\tau ^{r}}$ et ${\displaystyle d^{s}g/d\tau ^{s}}$ sont des dérivées usuelles, par opposition à la dérivée par rapport au carré du nome qui est parfois aussi utilisée.

La forme du crochet de Rankin-Cohen peut être expliquée en termes de théorie des représentations. Les formes modulaires peuvent être considérées comme les vecteurs de plus faible poids pour les représentations en série discrète de ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )}$ dans un espace de fonctions sur ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )/SL_{2}(\mathbb {Z} )/}$. Le produit tensoriel de deux représentations de poids les plus faibles correspondant aux formes modulaires ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle g}$ se divise en une somme directe des représentations de poids les plus faibles indexées par des entiers non négatifs ${\displaystyle n}$, et un calcul montre que les vecteurs de poids les plus faibles correspondants sont les crochets de Rankin-Cohen ${\displaystyle [f,g]_{n}}$.

Le ${\displaystyle 0}$^ième crochet de Rankin-Cohen est le crochet de Lie lorsque l'on considère un anneau de formes modulaires comme une algèbre de Lie.

• (en) Henri Cohen, « Sums involving the values at negative integers of L-functions of quadratic characters », Math. Ann., vol. 217, n^o 3,‎ 1975, p. 271–285 (DOI 10.1007/BF01436180, MR 0382192, zbMATH 0311.10030)
• (en) Robert Alexander Rankin, « The construction of automorphic forms from the derivatives of a given form », J. Indian Math. Soc., vol. 20 (nouvelle série),‎ 1956, p. 103–116 (MR 0082563, zbMATH 0072.08601)
• (en) Robert Alexander Rankin, « The construction of automorphic forms from the derivatives of given forms », Michigan Math. J., vol. 4,‎ 1957, p. 181–186 (DOI 10.1307/mmj/1028989013, MR 0092870)
• (en) Don Zagier, « Modular forms and differential operators », Proc. Indian Acad. Sci. Math. Sci., vol. 104, n^o 1 (K. G. Ramanathan memorial issue),‎ 1994, p. 57–75 (DOI 10.1007/BF02830874, MR 1280058, zbMATH 0806.11022)

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