Densité sur une variété

En géométrie différentielle, une densité est une notion qui sert à définir une intégrale indépendante de toute orientation. Ce faisant, elle sert d'abord à pouvoir intégrer sur une variété différentielle qui n'est pas orientable. Ensuite, la notion de densité sert aussi à définir une mesure positive sur une variété différentielle et, par conséquent, à pouvoir parler de densité de probabilité sur une variété différentielle.

Définition : Une densité sur un espace vectoriel réel ${\displaystyle V}$ de dimension ${\displaystyle n}$ est une application ${\displaystyle f:\otimes ^{n}V\to \mathbb {R} }$ telle que :

${\displaystyle f(Av_{1},...,Av_{n})=|\det(A)|f(v_{1},...,v_{n}),\quad \forall A\in \mathrm {GL} (n;\mathbb {R} ),\;\forall v_{1},...,v_{n}\in V}$

Remarque : Cette définition se généralise au cas d'une densité définie sur un espace vectoriel complexe, voir^[1].

Considérons une variété différentielle ${\displaystyle M}$ de dimension ${\displaystyle n}$ et soit ${\displaystyle \pi :\mathrm {Fr} (M)\to M}$ son fibré des repères tangents. Considérons la représentation de groupe suivante :

${\displaystyle \rho :\mathrm {GL} (n;\mathbb {R} )\to (\mathbb {R} _{+},\cdot )\;;\;\lambda \mapsto |\det(\lambda )|^{-1}}$

De cette représentation ${\displaystyle \rho }$ on peut définir sur la variété ${\displaystyle M}$ le ${\displaystyle \mathbb {R} }$-fibré vectoriel associé suivant :

${\displaystyle E:=\mathrm {Fr} (M)\times _{\rho }\mathbb {R} }$

Définition : Une densité sur une variété ${\displaystyle M}$ est une section du fibré ${\displaystyle E}$.

Remarque : Point par point, une densité sur une variété ${\displaystyle M}$ est une densité d'espace vectoriel pour les fibres du fibré tangent ${\displaystyle TM}$.

Exemple 1 : Soit ${\displaystyle \Omega }$ une forme volume sur ${\displaystyle M}$. Alors, la valeur absolue ${\displaystyle |\Omega |}$ définie en tout point ${\displaystyle x\in M}$ par :

${\displaystyle |\Omega |(v_{1},...,v_{n}):=|\Omega (v_{1},...,v_{n})|,\quad \forall v_{1},...,v_{n}\in T_{x}M}$

est une densité sur ${\displaystyle M}$.

Exemple 2 : Soit ${\displaystyle (M,\omega )}$ une variété symplectique. Alors la valeur absolue de la forme volume de Liouville ${\displaystyle \Omega =\omega ^{n}/n!}$ est la densité de Liouville^[2] ${\displaystyle |\Omega |}$.

Parmi les applications de la notion de densité sur une variété différentielle mentionnons :

• intégration sur une variété différentielle non orientable ;
• intégrales définies positives indépendamment de l'orientation pour définir une mesure :

${\displaystyle \mu (U)=\int _{U}|\Omega |}$

Ceci permet entre autres de considérer une densité de probabilité sur une variété différentielle, par exemple dans un contexte de quantification géométrique.

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