Densité sur une variété
En géométrie différentielle, une densité est une notion qui sert à définir une intégrale indépendante de toute orientation. Ce faisant, elle sert d'abord à pouvoir intégrer sur une variété différentielle qui n'est pas orientable. Ensuite, la notion de densité sert aussi à définir une mesure positive sur une variété différentielle et, par conséquent, à pouvoir parler de densité de probabilité sur une variété différentielle.
Densité sur un espace vectoriel
Définition : Une densité sur un espace vectoriel réel de dimension est une application telle que :
Remarque : Cette définition se généralise au cas d'une densité définie sur un espace vectoriel complexe, voir[1].
Densité sur une variété
Considérons une variété différentielle de dimension et soit son fibré des repères tangents. Considérons la représentation de groupe suivante :
De cette représentation on peut définir sur la variété le -fibré vectoriel associé suivant :
Définition : Une densité sur une variété est une section du fibré .
Remarque : Point par point, une densité sur une variété est une densité d'espace vectoriel pour les fibres du fibré tangent .
Exemples
Exemple 1 : Soit une forme volume sur . Alors, la valeur absolue définie en tout point par :
est une densité sur .
Exemple 2 : Soit une variété symplectique. Alors la valeur absolue de la forme volume de Liouville est la densité de Liouville[2] .
Applications
Parmi les applications de la notion de densité sur une variété différentielle mentionnons :
- intégration sur une variété différentielle non orientable ;
- intégrales définies positives indépendamment de l'orientation pour définir une mesure :
Ceci permet entre autres de considérer une densité de probabilité sur une variété différentielle, par exemple dans un contexte de quantification géométrique.
Notes et références
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