Distance produit
En mathématiques, une distance produit est une distance définie sur le produit cartésien d'un nombre fini d'espaces métriques qui soit compatible avec la topologie produit[1].
En particulier, pour n espaces métriques (X1,dX1) ... (Xn, dXn), on peut définir les distances produit de degré p pour comme la norme p du vecteur de dimension n dont les coordonnées sont les n distances mesurées dans les différents espaces :
Pour cette distance est également appelée distance-sup :
Choix de la norme
Dans un espace euclidien, on choisira la norme L2 pour obtenir la distance euclidienne usuelle dans l'espace produit ; toutefois, les normes étant équivalentes, toute autre valeur de p induira la même topologie.
En théorie des catégories on utilise généralement la norme-sup pour le produit (au sens de la théorie des catégories) dans la catégorie des espaces métriques.
Le cas des variétés riemanniennes
Pour deux variétés riemanniennes et , la métrique produit sur est définie par
pour avec l'identification naturelle [2].
Références
- ↑ (en) Michel Marie Deza et Elena Deza, Encyclopedia of Distances, Springer Science & Business Media, (ISBN 978-3-642-00234-2, lire en ligne)
- ↑ John M. Lee, Riemannian manifolds: an introduction to curvature, Springer, coll. « Graduate texts in mathematics », (ISBN 978-0-387-98322-6 et 978-0-387-98271-7)
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