Espace précompact

En topologie, une branche des mathématiques, un espace métrique E est précompact si, pour tout ε > 0, on peut recouvrir E par un nombre fini de boules de rayon ε. La propriété principale est qu'un espace métrique est compact si et seulement s'il est précompact et complet. La notion de précompacité et ses propriétés se généralisent aux espaces uniformes.

Définitions

Soit E un espace métrique. Si l'une des trois propriétés suivantes est vérifiée, alors toutes trois le sont et E est dit précompact.

Pour tout ε > 0, on peut recouvrir E par un nombre fini de boules de rayon ε ;
Pour tout ε > 0, on peut recouvrir E par un nombre fini de parties de diamètre inférieur à ε ;
Toute suite dans E possède une sous-suite de Cauchy.

Démonstration

1. ⇒ 2. : toute boule de rayon ε est de diamètre inférieur ou égal à 2ε.
2. ⇒ 3. : soit une suite x dans un espace E vérifiant 2. Recouvrons E par un nombre fini de parties de diamètres inférieurs à 2⁰ = 1. L'une de ces parties – appelons-la E₀ – contient une infinité de termes de la suite x, i.e. une sous-suite (x_φ(0,n)). On peut de même recouvrir E₀ par un nombre fini de parties de E₀ de diamètres inférieurs à 2⁻¹ et l'une d'elles, E₁, contiendra une sous-suite (x_φ(1,n)) de (x_φ(0,n)). En itérant le processus, on construit une suite décroissante de parties E_k de diamètres respectivement inférieurs à 2^–k, dont chacune contient une sous-suite (x_φ(k,n)) de la sous-suite précédente (x_{φ(k – 1,n)}). La sous-suite diagonale (x_φ(n,n)) est alors une sous-suite de Cauchy de x.
3. ⇒ 1. : raisonnant par contraposée, considérons un espace E qui, pour un certain ε > 0, n'est pas réunion finie de boules ouvertes de rayon ε. Ceci permet de construire par récurrence une suite (x_n) de points de E telle que $\forall n\in \mathbb {N} ,~x_{n}\notin \cup _{k<n}B\left(x_{k},\varepsilon \right).$ Cette suite vérifie alors : $\forall \left(i,j\right)\in \mathbb {N} ^{2},i\neq j\Rightarrow d\left(x_{i},x_{j}\right)\geq \varepsilon$ donc (x_n) n'admet pas de sous-suite de Cauchy.

Plus généralement, soit E un espace uniforme. Si l'une des trois propriétés suivantes est vérifiée alors les trois le sont^[1] et E est dit précompact^[2].

Pour tout entourage V de E, il existe un recouvrement fini de E dont tous les ensembles sont petits d'ordre V (c'est-à-dire que leurs carrés cartésiens sont inclus dans V).
Tout filtre de E est contenu dans un filtre de Cauchy.
Tout ultrafiltre de E est de Cauchy.

Propriétés

Tout espace métrique précompact est borné.
Tout espace métrique précompact est séparable et même (comme tout métrique séparable) à base dénombrable donc de Lindelöf.
Théorème — Un espace métrique (ou plus généralement : un espace uniforme séparé^[2]^,^[3]) est compact si et seulement s'il est précompact et complet^[4].

Démonstration dans le cadre métrique

Tout espace métrique compact est précompact.
En effet, dans un tel espace, toute suite possède une sous-suite convergente, donc de Cauchy.
Tout espace métrique compact est complet.
Il suffit d'utiliser que dans un tel espace, toute suite admet une sous-suite convergente et que lorsqu'une suite de Cauchy x admet une sous-suite convergente y, x converge (vers la limite de y).
Tout espace métrique précompact et complet est compact.
En effet, dans un tel espace, toute suite possède une sous-suite de Cauchy (par précompacité) donc convergente (par complétude), si bien que l'espace est séquentiellement compact. On conclut à sa compacité par le théorème de Bolzano-Weierstrass, ou en utilisant que l'espace est de Lindelöf (cf. propriété précédente) et dénombrablement compact.

Dans un espace uniforme, toutes les parties, les réunions finies, les adhérences de précompacts, sont précompactes ; toute image d'un précompact par une fonction uniformément continue est précompacte^[3] : ces propriétés résultent immédiatement de la définition de la précompacité par la propriété de Cauchy.
Un espace métrique (resp. uniforme) est précompact si et seulement si son complété (resp. son séparé complété) est compact^[5].
En effet, soient E un espace uniforme, F son séparé complété et i l'application canonique de E dans F. D'après le théorème, F est compact si et seulement s'il est précompact. Or si F est précompact alors E aussi – car la structure uniforme de E est l'image réciproque par i×i de celle de F – et réciproquement, si E est précompact alors i(E) aussi – puisque i est uniformément continue – donc son adhérence F également.
Tout produit d'espaces uniformes précompacts (en particulier tout produit d'espaces métriques précompacts) est précompact.
Tout espace régulier à base dénombrable est métrisable de façon précompacte^[6].

Notes et références

↑ Sans l'axiome du choix, on dit que E est précompact s'il vérifie la propriété 2 et qu'il est totalement borné s'il vérifie la propriété 1 qui est alors plus faible, mais la caractérisation de la compacité en termes de précompacité et complétude reste vraie. (en) Eric Schechter, Handbook of Analysis and Its Foundations, Academic Press, 1996, 883 p. (ISBN 978-0-08-053299-8, lire en ligne), p. 505-507
↑ ^{a et b} W. F. Newns, « Sur les espaces uniformes précompacts », Portugaliae mathematica, vol. 13, n^o 1,‎ 1954, p. 33-34 (lire en ligne)
↑ ^{a et b} N. Bourbaki, Éléments de mathématique, livre III : Topologie générale [détail des éditions], p. II.30.
↑ En particulier : tout espace compact est complet et précompact, sans supposer explicitement que l'espace est muni d'une structure uniforme : tout compact est uniformisable, de façon unique.
↑ C'est cette caractérisation qui est choisie comme définition par Bourbaki, p. II.29.
↑ (en) A. V. Arkhangel'skii, « Totally-bounded space », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).

Georges Skandalis, Topologie et analyse 3^e année, Dunod, coll. « Sciences Sup », 2001
Claude Wagschal, Topologie et analyse fonctionnelle, Hermann, coll. « Méthodes », 1995