Espace quasi-métrique
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En mathématiques, la notion d'espace quasi-métrique[1] généralise celle d'espace métrique. Les quasi-distances (ou quasi-métriques), non nécessairement symétriques, sont fréquentes dans la vie courante, mais rarement utilisées en mathématiques, et le vocabulaire est fluctuant[2].
Définition
Une quasi-distance sur un ensemble est une fonction
telle que pour tout ,
- (séparation) ;
- (inégalité triangulaire) ;
Un espace quasi-métrique est un couple où est un ensemble et est une quasi-distance sur .
Remarques :
- Une quasi-distance symétrique est une distance.
- Toute quasi-distance induit une distance en posant :
- .
Exemple
Considérons un système de routes, dont certaines sont éventuellement à sens unique. Le temps nécessaire pour aller d'un endroit à un autre en passant par la route donne une quasi-distance.
Notes et références
- ↑ J-M Huriot et J Perreur, « Distances, espaces et représentations (une revue) »,
- ↑ Les quasi-distances sont définies dans (en) Lynn Arthur Steen et J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology, New York, Dover, , 2e éd. (1re éd. 1970), 244 p., poche (ISBN 978-0-486-68735-3, lire en ligne). Dans (en) Stefan Rolewicz, Functional Analysis and Control Theory : Linear Systems, Dordrecht, Springer, , 524 p. (ISBN 978-90-277-2186-0, lire en ligne) elles sont appelées semi-distances, mais ce terme est déjà souvent utilisé pour deux autres généralisations de la notion d'espace métrique : voir espace semi-métrique et espace pseudo-métrique.
Liens externes
- (en) « Quasimetric space », sur PlanetMath
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Quasimetric space » (voir la liste des auteurs).
Voir aussi
- Espace métrique
- Espace pseudo-métrique
- Espace uniforme
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