Espace quasi-métrique

Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

En mathématiques, la notion d'espace quasi-métrique^[1] généralise celle d'espace métrique. Les quasi-distances (ou quasi-métriques), non nécessairement symétriques, sont fréquentes dans la vie courante, mais rarement utilisées en mathématiques, et le vocabulaire est fluctuant^[2].

Une quasi-distance sur un ensemble ${\displaystyle E}$ est une fonction

${\displaystyle \mathrm {d} :E\times E\to \mathbb {R} _{+}}$

telle que pour tout ${\displaystyle x,y,z\in E}$,

1. ${\displaystyle \mathrm {d} (x,y)=0\iff x=y}$ (séparation) ;
2. ${\displaystyle \mathrm {d} (x,z)\leq \mathrm {d} (x,y)+\mathrm {d} (y,z)}$ (inégalité triangulaire) ;

Un espace quasi-métrique est un couple ${\displaystyle \left(E,\mathrm {d} \right)}$ où ${\displaystyle E}$ est un ensemble et ${\displaystyle \mathrm {d} }$ est une quasi-distance sur ${\displaystyle E}$.

Remarques :

• Une quasi-distance symétrique est une distance.
• Toute quasi-distance ${\displaystyle \mathrm {d} }$ induit une distance ${\displaystyle \mathrm {d} '}$ en posant :

${\displaystyle \mathrm {d} '\left(x,y\right)={\frac {\mathrm {d} \left(x,y\right)+\mathrm {d} \left(y,x\right)}{2}}}$.

Considérons un système de routes, dont certaines sont éventuellement à sens unique. Le temps nécessaire pour aller d'un endroit à un autre en passant par la route donne une quasi-distance.

• (en) « Quasimetric space », sur PlanetMath

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Quasimetric space » (voir la liste des auteurs).

• Espace métrique
• Espace pseudo-métrique
• Espace uniforme

• Portail des mathématiques