Fonction à oscillation moyenne bornée

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L'ensemble des fonctions à oscillations moyennes bornées, usuellement noté ${\displaystyle BMO}$ de l'anglais « bounded mean oscillation », est un espace de fonctions utilisé en analyse harmonique.

Il a été introduit par Fritz John et Louis Nirenberg^[1] pour résoudre des problèmes d'équations aux dérivées partielles.

Pour toute fonction ${\displaystyle f\in }$L¹_loc${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n})}$, on définit ${\displaystyle \|f\|_{BMO}=\sup _{Q\subset \mathbb {R} ^{n}}{\frac {1}{|Q|}}\int _{Q}|f(x)-f_{Q}|\,\mathrm {d} x.}$.

La borne supérieure est prise sur l'ensemble des cubes ${\displaystyle Q}$ de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, l'expression ${\displaystyle |Q|}$ désigne la mesure de Lebesgue de ${\displaystyle Q}$, et ${\displaystyle f_{Q}}$ désigne la moyenne de ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle Q}$ : ${\displaystyle f_{Q}={\frac {1}{|Q|}}\int _{Q}f(x)\,\mathrm {d} x}$.

Par définition,

${\displaystyle BMO=\{f\in \mathrm {L_{loc}^{1}} (\mathbb {R} ^{n})\mid \|f\|_{BMO}<\infty \}}$.

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