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Variations de la fonction bêta pour les valeurs positives de x et y En mathématiques , la fonction bêta est une des deux intégrales d'Euler , définie pour tous nombres complexes x et y de parties réelles strictement positives par :
B ( x , y ) = ∫ 0 1 t x − 1 ( 1 − t ) y − 1 d t , {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\mathrm {d} t,} et éventuellement prolongée analytiquement à tout le plan complexe à l'exception des entiers négatifs.
La fonction bêta a été étudiée par Euler et Legendre et doit son nom à Jacques Binet . Elle est en relation avec la fonction gamma.
Il existe aussi une version incomplète de la fonction bêta, la fonction bêta incomplète ainsi qu'une version régularisée de celle-ci, la fonction bêta incomplète régularisée .
Propriétés Dans sa définition sous forme d'intégrale, le changement de variable u = 1 – t prouve que cette fonction est symétrique c'est-à-dire que :
B ( x , y ) = B ( y , x ) {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (y,x)} . Elle peut prendre aussi les formes intégrales
B ( x , y ) = 2 ∫ 0 π / 2 sin 2 x − 1 θ cos 2 y − 1 θ d θ {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=2\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2x-1}\theta ~\cos ^{2y-1}\theta ~\mathrm {d} \theta } (par le changement de variable t = sin 2 θ {\displaystyle t=\sin ^{2}\theta } ), B ( x , y ) = ∫ 0 ∞ s y − 1 ( 1 + s ) x + y d s {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{\infty }{\frac {s^{y-1}}{(1+s)^{x+y}}}~\mathrm {d} s} (par le changement de variable t = 1 1 + s {\displaystyle t={\dfrac {1}{1+s}}} ). Elle satisfait des équations fonctionnelles telles que :
B ( x , y + 1 ) = y x + y B ( x , y ) {\displaystyle \mathrm {B} (x,y+1)={y \over x+y}\mathrm {B} (x,y)} , B ( x , y ) B ( x + y , 1 − y ) = π x sin ( π y ) {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)~\mathrm {B} (x+y,1-y)={\dfrac {\pi }{x\sin(\pi y)}}} , B ( x , x ) = 2 1 − 2 x B ( 1 2 , x ) {\displaystyle \mathrm {B} (x,x)=2^{1-2x}\mathrm {B} \left({\tfrac {1}{2}},x\right)} . Elle est liée à la fonction gamma par l'équation suivante[ 1] :
B ( x , y ) = Γ ( x ) Γ ( y ) Γ ( x + y ) {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}} . Si x et y sont des entiers strictement positifs, cette équation se réécrit, en termes de factorielles ou de coefficient binomial : x + y x y B ( x , y ) = ( x + y ) ! x ! y ! = ( x + y x ) {\displaystyle {\frac {x+y}{xy\mathrm {B} (x,y)}}={\frac {(x+y)!}{x!~y!}}={x+y \choose x}} .
Si x et y sont deux rationnels et si ni x , ni y , ni x + y ne sont entiers, alors Β(x , y ) est un nombre transcendant[ 2] .
Dérivation Les dérivées partielles de la fonction bêta utilisent les équations fonctionnelles vues précédemment :
∂ ∂ x B ( x , y ) = B ( x , y ) ( Γ ′ ( x ) Γ ( x ) − Γ ′ ( x + y ) Γ ( x + y ) ) = B ( x , y ) ( ψ ( x ) − ψ ( x + y ) ) , {\displaystyle {\partial \over \partial x}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\Gamma '(x) \over \Gamma (x)}-{\Gamma '(x+y) \over \Gamma (x+y)}\right)=\mathrm {B} (x,y)(\psi (x)-\psi (x+y)),} ∂ ∂ y B ( x , y ) = B ( x , y ) ( ψ ( y ) − ψ ( x + y ) ) {\displaystyle {\partial \over \partial y}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)(\psi (y)-\psi (x+y))} où ψ (x ) est la fonction digamma.
∂ 2 ∂ x 2 B ( x , y ) = B ( x , y ) [ ( ψ ( x ) − ψ ( x + y ) ) 2 + ( ψ 1 ( x ) − ψ 1 ( x + y ) ) ] , {\displaystyle {\partial ^{2} \over \partial x^{2}}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left[(\psi (x)-\psi (x+y))^{2}+(\psi _{1}(x)-\psi _{1}(x+y))\right],} ∂ 2 ∂ x ∂ y B ( x , y ) = B ( x , y ) [ ( ψ ( x ) − ψ ( x + y ) ) ( ψ ( y ) − ψ ( x + y ) ) − ψ 1 ( x + y ) ] , {\displaystyle {\partial ^{2} \over {\partial x\partial y}}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left[(\psi (x)-\psi (x+y))(\psi (y)-\psi (x+y))-\psi _{1}(x+y)\right],} où ψn (x ) est la fonction polygamma.
Fonction bêta incomplète La fonction bêta incomplète est définie par :
B ( x ; a , b ) = ∫ 0 x t a − 1 ( 1 − t ) b − 1 d t {\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\mathrm {d} t} et vérifie trivialement [ 3] :
B ( x ; a + 1 , b ) + B ( x ; a , b + 1 ) = B ( x ; a , b ) e t x a ( 1 − x ) b = a B ( x ; a , b + 1 ) − b B ( x ; a + 1 , b ) . {\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a+1,b)+\mathrm {B} (x;\,a,b+1)=\mathrm {B} (x;\,a,b)\quad {\rm {et}}\quad x^{a}(1-x)^{b}=a\mathrm {B} (x;\,a,b+1)-b\mathrm {B} (x;\,a+1,b).}
Pour x = 1 , elle correspond à la fonction bêta de paramètres a et b .
La fonction bêta incomplète régularisée consiste à diviser la fonction bêta incomplète par la fonction bêta complète
I x ( a , b ) = B ( x ; a , b ) B ( a , b ) . {\displaystyle I_{x}(a,b)={\dfrac {\mathrm {B} (x;\,a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}.} Les relations précédentes deviennent ainsi
a I x ( a + 1 , b ) + b I x ( a , b + 1 ) = ( a + b ) I x ( a , b ) {\displaystyle aI_{x}(a+1,b)+bI_{x}(a,b+1)=(a+b)I_{x}(a,b)} [ 4] , I x ( a , b + 1 ) − I x ( a + 1 , b ) = x a ( 1 − x ) b a + b a b B ( a , b ) . {\displaystyle ,\quad I_{x}(a,b+1)-I_{x}(a+1,b)=x^{a}(1-x)^{b}{\frac {a+b}{ab\mathrm {B} (a,b)}}.}
On déduit de la seconde (par une récurrence immédiate) le lien suivant avec le développement binomial et la loi binomiale [ 4] : I p ( a , n − a + 1 ) = ∑ j = a n ( n j ) p j ( 1 − p ) n − j . {\displaystyle I_{p}(a,n-a+1)=\sum _{j=a}^{n}{n \choose j}p^{j}(1-p)^{n-j}.}
Notes et références ↑ Pour une démonstration, voir par exemple cet exercice corrigé sur Wikiversité . ↑ (de) Theodor Schneider , « Zur Theorie der Abelschen Funktionen und Integrale », J. reine angew. Math. , vol. 183, 1941 , p. 110-128 (lire en ligne) . ↑ (en) M. Aslam Chaudhry et Syed M. Zubair , On a Class of Incomplete Gamma Functions with Applications , CRC Press , 2001 (ISBN 978-1-58488-143-8 , lire en ligne) , p. 218 . ↑ a et b (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun , Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne) , § 6.6.
Lien externe (en) Eric W. Weisstein , « Beta Function », sur MathWorld
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