Une des accélérations de série de la fonction de Clausen est donnée par :
,
pour |θ| < 2π.
Une forme convergeant plus rapidement est donnée par :
.
La rapidité de la convergence de cette série est due au fait que ζ(n) tend rapidement vers 1 quand n tend vers l'infini. Ces deux formes sont générées grâce aux techniques de somme utilisées pour obtenir la série zêta rationnelle[2].
Valeurs particulières
où K est la constante de Catalan. Plus généralement :
La valeur maximale de Cl2 est la constante de Gieseking (de)[3],[4] :
.
Le volume hyperbolique (en) du complément du nœud en huit (en) est le double de cette constante[5],[6] :
( A091518)[7].
Extensions : les fonctions de Glaisher-Clausen
Fonctions de Clausen standard
Fonctions de Glaisher–Clausen
Plus généralement, on peut définir deux clases de fonctions de Clausen généralisées :
La définition est valide pour tout complexe z tel que Re(z) >1. Le domaine de définition peut être étendu à tout le plan complexe par prolongement analytique.
Pour z entier positif, les fonctions de Clausen standard sont définies par les séries de Fourier suivantes :
Les fonctions de Clausen de type SL sont aussi notées et parfois appelées fonctions de Glaisher-Clausen (du nom de James Whitbread Lee Glaisher, d'où la notation GL[8]), qu'on peut définir par :
Références
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Clausen function » (voir la liste des auteurs).
↑(en) Leonard Lewin, Structural Properties of Polylogarithms, [détail de l’édition], p. 8.
↑(en) Jonathan M. Borwein, David M. Bradley et Richard E. Crandall, « Computational Strategies for the Riemann Zeta Function », J. Comput. App. Math., vol. 121, nos 1-2, , p. 247-296 (DOI10.1016/S0377-0427(00)00336-8).
↑(en) Jonathan Borwein et David Bailey, Mathematics by Experiment : Plausible Reasoning in the 21st Century, A K Peters, , 393 p. (ISBN978-1-56881-442-1, lire en ligne), p. 56.
↑Pour de nombreuses autres expressions de V, voir (en) Eric W. Weisstein, « Figure Eight Knot », sur MathWorld.
↑(en) Luise Adams, Christian Bogner et Stefan Weinzierl, « [https://arxiv.org/abs/1504.03255 The two-loop sunrise integral around four space-time dimensions and generalisations of the Clausen and Glaisher functions towards the elliptic case] », .
Voir aussi
Sur les autres projets Wikimedia :
Fonction de Clausen, sur Wikimedia Commons
(en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne), 27.8