En géométrie différentielle , une 1-forme de connexion est une forme différentielle sur un G {\displaystyle G} -fibré principal qui vérifie certains axiomes. La donnée d'une forme de connexion permet de parler, entre autres, de courbure, de torsion, de dérivée covariante , de relevé horizontal , de transport parallèle , d'holonomie et de théorie de jauge . La notion de forme de connexion est intimement reliée à la notion de connexion d'Ehresmann.
Définition Soient :
G {\displaystyle G} , un groupe de Lie ; e ∈ G {\displaystyle e\in G} , l'élément identité de G {\displaystyle G} ; g := L i e ( G ) := T e G {\displaystyle {\mathfrak {g}}:=\mathrm {Lie} (G):=T_{e}G} l'algèbre de Lie de G {\displaystyle G} ; A d : G → A u t ( g ) {\displaystyle \mathrm {Ad} :G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})} , la représentation adjointe de G {\displaystyle G} sur g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} ; B {\displaystyle B} , une variété différentielle ; π : P → B {\displaystyle \pi :P\to B} , un G {\displaystyle G} -fibré principal sur B {\displaystyle B} . Dénotons l'action de groupe à droite de G {\displaystyle G} sur P {\displaystyle P} par :
Φ : G → D i f f ( P ) {\displaystyle \Phi :G\to \mathrm {Diff} (P)} de sorte que a ⋅ λ = Φ λ ( a ) {\displaystyle a\cdot \lambda =\Phi _{\lambda }(a)} pour tout a ∈ P {\displaystyle a\in P} et tout λ ∈ G {\displaystyle \lambda \in G} . La différentielle à l'identité de Φ {\displaystyle \Phi } est l'application qui envoie un élément ξ ∈ g {\displaystyle \xi \in {\mathfrak {g}}} à son champ vectoriel fondamental ξ ∙ {\displaystyle \xi ^{\bullet }} sur P {\displaystyle P} :
Φ ∗ | e : g → X ( P ) ; ξ ↦ ξ ∙ {\displaystyle \Phi _{*}|_{e}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {X}}(P);\xi \mapsto \xi ^{\bullet }} Définition : Une 1-forme de connexion sur P {\displaystyle P} est une 1-forme différentielle A {\displaystyle A} sur P {\displaystyle P} qui est à valeurs en g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} et qui vérifie les axiomes suivants :
1. A {\displaystyle A} est A d {\displaystyle \mathrm {Ad} } -équivariante, i.e. :
( Φ λ ) ∗ A = A d λ − 1 ∘ A , ∀ λ ∈ G {\displaystyle (\Phi _{\lambda })^{*}A=\mathrm {Ad} _{\lambda }^{-1}\circ A,\qquad \forall \lambda \in G} 2. A {\displaystyle A} est l'application inverse de l'application envoyant ξ ∈ g {\displaystyle \xi \in {\mathfrak {g}}} à son champ vectoriel fondamental ξ ∙ {\displaystyle \xi ^{\bullet }} , i.e. :
A ( ξ ∙ ) = ξ , ∀ ξ ∈ g {\displaystyle A(\xi ^{\bullet })=\xi ,\qquad \forall \xi \in {\mathfrak {g}}}
Relation avec la notion de connexion d'Ehresmann Article détaillé : Connexion d'Ehresmann.
Sur P {\displaystyle P} repose une distribution verticale canonique V ⊂ T P {\displaystyle V\subset TP} qui est intégrable et dont les feuilles sont les G {\displaystyle G} -fibres de P {\displaystyle P} . Une connexion d'Ehresmann sur P {\displaystyle P} est une distribution horizontale H ⊂ T P {\displaystyle H\subset TP} qui satisfait trois axiomes :
1. V + H = T P {\displaystyle V+H=TP}
2. V ∩ H = { 0 } {\displaystyle V\cap H=\{0\}}
3. H {\displaystyle H} est G {\displaystyle G} -invariante, i.e. :
( Φ λ ) ∗ ( v ) ∈ H , ∀ λ ∈ G , ∀ v ∈ H {\displaystyle (\Phi _{\lambda })_{*}(v)\in H,\qquad \forall \lambda \in G,\;\forall v\in H} La relation entre la notion de connexion d'Ehresmann et de forme de connexion se résume à ce qu'une distribution horizontale donnée soit la distribution noyau d'une forme de connexion donnée :
H = ker ( A ) {\displaystyle H=\ker(A)} L'axiome d' A d {\displaystyle \mathrm {Ad} } -équivariance d'une forme de connexion A {\displaystyle A} est équivalent à l'axiome de G {\displaystyle G} -invariance de la distribution horizontale H {\displaystyle H} .
Projection verticale et projection horizontale Définition : Considérons une 1-forme de connexion A {\displaystyle A} sur P {\displaystyle P} . La projection verticale et la projection horizontale de A {\displaystyle A} sont respectivement données en tout a ∈ P {\displaystyle a\in P} et tout v ∈ T a P {\displaystyle v\in T_{a}P} par :
v e r : T a P → V a ; v ↦ ( ( A ( v ) ) ∙ ) a {\displaystyle \mathrm {ver} :T_{a}P\to V_{a};v\mapsto ((A(v))^{\bullet })_{a}} h o r : T a P → H a ; v ↦ v − v e r ( v ) {\displaystyle \mathrm {hor} :T_{a}P\to H_{a};v\mapsto v-\mathrm {ver} (v)} Ce faisant, tout vecteur tangent sur P {\displaystyle P} se décompose de manière unique comme :
v = v e r ( v ) + h o r ( v ) {\displaystyle v=\mathrm {ver} (v)+\mathrm {hor} (v)}
Article détaillé : 2-forme de courbure.
Soient :
A d P := P × A d g {\displaystyle \mathrm {Ad} P:=P\times _{\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}} , le fibré adjoint de P {\displaystyle P} ; ∧ : Ω p ( P ; R ) × Ω q ( P ; R ) → Ω p + q ( P ; R ) {\displaystyle \wedge :\Omega ^{p}(P;\mathbb {R} )\times \Omega ^{q}(P;\mathbb {R} )\to \Omega ^{p+q}(P;\mathbb {R} )} le produit extérieur sur les k {\displaystyle k} -formes différentielles réelles sur P {\displaystyle P} ; [ ⋅ , ⋅ ] : g × g → g {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}} le crochet de Lie sur l'algèbre de Lie g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} ; [ ⋅ ∧ ⋅ ] : Ω p ( P ; g ) × Ω q ( P ; g ) → Ω p + q ( P ; g ) {\displaystyle [\cdot \wedge \cdot ]:\Omega ^{p}(P;{\mathfrak {g}})\times \Omega ^{q}(P;{\mathfrak {g}})\to \Omega ^{p+q}(P;{\mathfrak {g}})} le produit wedge-crochet sur les k {\displaystyle k} -formes différentielles à valeurs en g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} sur P {\displaystyle P} , défini par les combinaisons linéaires de : [ ( α 1 ⊗ ξ 1 ) ∧ ( α 2 ⊗ ξ 2 ) ] := ( α 1 ∧ α 2 ) ⊗ [ ξ 1 , ξ 2 ] , ∀ α 1 ∈ Ω p ( P ; R ) , α 2 ∈ Ω q ( P ; R ) , ξ 1 , ξ 2 ∈ g {\displaystyle [(\alpha _{1}\otimes \xi _{1})\wedge (\alpha _{2}\otimes \xi _{2})]:=(\alpha _{1}\wedge \alpha _{2})\otimes [\xi _{1},\xi _{2}],\qquad \forall \alpha _{1}\in \Omega ^{p}(P;\mathbb {R} ),\;\alpha _{2}\in \Omega ^{q}(P;\mathbb {R} ),\;\xi _{1},\xi _{2}\in {\mathfrak {g}}} Définition : La 2-forme de courbure sur P {\displaystyle P} d'une forme de connexion A {\displaystyle A} est par définition :
F A ♯ = ( d A ) h o r = ( d A ) ( h o r ( ⋅ ) , h o r ( ⋅ ) ) {\displaystyle F_{A}^{\sharp }=(dA)_{\mathrm {hor} }=(dA)(\mathrm {hor} (\cdot ),\mathrm {hor} (\cdot ))} Remarque : La 2-forme de courbure sur P {\displaystyle P} peut aussi s'écrire comme :
F A ♯ := d A + 1 2 [ A ∧ A ] ∈ Ω 2 ( P ; g ) {\displaystyle F_{A}^{\sharp }:=dA+{\frac {1}{2}}[A\wedge A]\in \Omega ^{2}(P;{\mathfrak {g}})} Définition : La 2-forme de courbure étant une forme basique , elle descend à la 2-forme de courbure sur B {\displaystyle B} :
F A ∈ Ω 2 ( B ; A d P ) {\displaystyle F_{A}\in \Omega ^{2}(B;\mathrm {Ad} P)}
Dérivée covariante Soient :
À une section ψ ∈ Γ ( E ) {\displaystyle \psi \in \Gamma (E)} du fibré E {\displaystyle E} correspond une fonction ρ {\displaystyle \rho } -équivariante ψ ♯ : P → V {\displaystyle \psi ^{\sharp }:P\to V} . De même, à toute fonction ρ {\displaystyle \rho } -équivariante ψ ♯ {\displaystyle \psi ^{\sharp }} sur P {\displaystyle P} descend à une section de E {\displaystyle E} .
Définition : La dérivée covariante sur P {\displaystyle P} d'une fonction ρ {\displaystyle \rho } -équivariante ψ ♯ : P → V {\displaystyle \psi ^{\sharp }:P\to V} est :
d A ψ ♯ := ( d ψ ♯ ) h o r = ( d ψ ♯ ) ( h o r ( ⋅ ) ) ∈ Ω 1 ( P ; V ) {\displaystyle d^{A}\psi ^{\sharp }:=(d\psi ^{\sharp })_{\mathrm {hor} }=(d\psi ^{\sharp })(\mathrm {hor} (\cdot ))\in \Omega ^{1}(P;V)} Remarque : La dérivée covariante sur P {\displaystyle P} de ψ ♯ {\displaystyle \psi ^{\sharp }} peut aussi s'écrire :
d A ψ ♯ = d ψ ♯ + ( ρ ∗ | e ( A ) ) ψ ♯ {\displaystyle d^{A}\psi ^{\sharp }=d\psi ^{\sharp }+(\rho _{*}|_{e}(A))\psi ^{\sharp }} où ρ ∗ | e : g → E n d ( V ) {\displaystyle \rho _{*}|_{e}:{\mathfrak {g}}\to \mathrm {End} (V)} est la représentation infinitésimale correspondant à la représentation ρ {\displaystyle \rho } .
La dérivée covariante sur B {\displaystyle B} de ψ ∈ Γ ( E ) {\displaystyle \psi \in \Gamma (E)} est :
d A ψ := ( d A ψ ♯ ) ♯ ∈ Ω 1 ( B ; E ) {\displaystyle d_{A}\psi :=(d^{A}\psi ^{\sharp })_{\sharp }\in \Omega ^{1}(B;E)} Remarque : Donnée une section trivialisante locale s μ : ( U μ ⊂ B ) → ( π − 1 ( U μ ) ⊂ P ) {\displaystyle s_{\mu }:(U_{\mu }\subset B)\to (\pi ^{-1}(U_{\mu })\subset P)} , la dérivée covariante de ψ ∈ Γ ( E ) {\displaystyle \psi \in \Gamma (E)} s'écrit explicitement comme :
( d A ψ ) μ = d ψ μ + ( ρ ∗ | e ( A μ ) ) ψ μ {\displaystyle (d_{A}\psi )_{\mu }=d\psi _{\mu }+(\rho _{*}|_{e}(A_{\mu }))\psi _{\mu }} où :
( d A ψ ) μ := s μ ∗ ( d A ψ ♯ ) ∈ Ω 1 ( U μ ; V ) {\displaystyle (d_{A}\psi )_{\mu }:=s_{\mu }^{*}(d^{A}\psi ^{\sharp })\in \Omega ^{1}(U_{\mu };V)} ; ψ μ := s μ ∗ ψ ♯ ∈ Ω 0 ( U μ ; V ) {\displaystyle \psi _{\mu }:=s_{\mu }^{*}\psi ^{\sharp }\in \Omega ^{0}(U_{\mu };V)} ; A μ := s μ ∗ A ∈ Ω 1 ( U μ ; g ) {\displaystyle A_{\mu }:=s_{\mu }^{*}A\in \Omega ^{1}(U_{\mu };{\mathfrak {g}})} . Pour cette raison, la dérivée covariante est souvent dénotée, par abus de notation, plus simplement :
d A = d + A μ {\displaystyle d_{A}=d+A_{\mu }} Aussi, la dérivée covariante est souvent dénotée ∇ {\displaystyle \nabla } . Pour X ∈ X ( B ) {\displaystyle X\in {\mathfrak {X}}(B)} , un champ vectoriel, on a :
∇ X = ι X d A {\displaystyle \nabla _{X}=\iota _{X}d_{A}} Enfin, notons que la notion de dérivée covariante se généralise directement à la notion de dérivée covariante extérieure sur les k {\displaystyle k} -formes différentielles à valeurs en le fibré associé E {\displaystyle E} :
d A : Ω k ( B ; E ) → Ω k + 1 ( B ; E ) {\displaystyle d_{A}:\Omega ^{k}(B;E)\to \Omega ^{k+1}(B;E)}
Relevé horizontal Définition : Un relevé horizontal d'une courbe différentiable γ : [ 0 , 1 ] → B {\displaystyle \gamma :[0,1]\to B} est une courbe γ ~ : [ 0 , 1 ] → P {\displaystyle {\tilde {\gamma }}:[0,1]\to P} telle que pour tout t ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle t\in [0,1]} on ait:
π ∘ γ ~ ( t ) = γ ( t ) {\displaystyle \pi \circ {\tilde {\gamma }}(t)=\gamma (t)} A | γ ~ ( t ) ( γ ~ ˙ ( t ) ) = 0 {\displaystyle A|_{{\tilde {\gamma }}(t)}({\dot {\tilde {\gamma }}}(t))=0} .
Holonomie Soient :
γ : [ 0 , 1 ] → B {\displaystyle \gamma :[0,1]\to B} une courbe différentiable paramétrée en B {\displaystyle B} telle que γ ( 0 ) = γ ( 1 ) {\displaystyle \gamma (0)=\gamma (1)} ; γ ~ : [ 0 , 1 ] → P {\displaystyle {\tilde {\gamma }}:[0,1]\to P} un relevé horizontal de γ {\displaystyle \gamma } pour la connexion A {\displaystyle A} . Définition : L'holonomie de la connexion A {\displaystyle A} pour le lacet γ {\displaystyle \gamma } en B {\displaystyle B} est par définition l'unique λ ∈ G {\displaystyle \lambda \in G} tel que :
γ ~ ( 1 ) = γ ~ ( 0 ) ⋅ λ {\displaystyle {\tilde {\gamma }}(1)={\tilde {\gamma }}(0)\cdot \lambda }
Transport parallèle Soient :
γ : [ 0 , 1 ] → B {\displaystyle \gamma :[0,1]\to B} et γ ~ : [ 0 , 1 ] → P {\displaystyle {\tilde {\gamma }}:[0,1]\to P} un de ses relevés horizontaux ; x 0 = γ ( 0 ) {\displaystyle x_{0}=\gamma (0)} et x 1 = γ ( 1 ) {\displaystyle x_{1}=\gamma (1)} ; v ∈ E x 0 {\displaystyle v\in E_{x_{0}}} , un élément du fibré E {\displaystyle E} en x 0 {\displaystyle x_{0}} ; v ♯ : π − 1 ( x 0 ) → V {\displaystyle v^{\sharp }:\pi ^{-1}(x_{0})\to V} , l'application ρ {\displaystyle \rho } -équivariante correspondant à v {\displaystyle v} ; w ♯ : π − 1 ( x 1 ) → V {\displaystyle w^{\sharp }:\pi ^{-1}(x_{1})\to V} , l'unique application ρ {\displaystyle \rho } -équivariante telle que : w ♯ ∘ γ ~ ( 1 ) = v ♯ ∘ γ ~ ( 0 ) {\displaystyle w^{\sharp }\circ {\tilde {\gamma }}(1)=v^{\sharp }\circ {\tilde {\gamma }}(0)} Définition : Le transport parallèle de v ∈ E {\displaystyle v\in E} le long du chemin γ {\displaystyle \gamma } pour la connexion A {\displaystyle A} est par définition :
w := ( w ♯ ) ♯ ∈ E x 1 {\displaystyle w:=(w^{\sharp })_{\sharp }\in E_{x_{1}}}
Livres et cours Pour un traitement en détail de ce qui précède, voir : (en) Shoshichi Kobayashi (en) et Katsumi Nomizu (en) , Foundations of Differential Geometry , 1963 . Pour un cours accessible avec exercices sur la théorie de jauge, voir : (en) José Figueroa-O’Farrill, Lectures on Gauge Theory , 2006 Pour aller plus loin en théorie de jauge, voir : (en) S. K. Donaldson et P. B. Kronheimer, The Geometry of Four-Manifolds , 1986.
Notes et références
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